**有个古老而经典的逻辑游戏：**
如果一个人说“我正在说谎”，那么他到底在不在说谎呢？如果他不在说谎，那么“我正在说谎”这句话就是真的；如果
他在说谎，那么“我正在说谎”这句话就是假的。无论从哪个方向推演，得到的都是自相矛盾的结论，我们无从判定他
在不在说谎。
这就是公元前4世纪，由哲学家欧布里德（Eubulides）提出的著名的**说谎者悖论**。
与之类似的，还有伯特兰·罗素（Bertrand Russell）在1901年提出的罗素悖论，它的通俗化版本是流传更广的理发
师悖论：如果一位理发师只给不为自己理发的人理发，那他给不给自己理发呢？
罗素悖论直接动摇了整个数学大厦的根基——集合论。为使命题合理，当那位理发师圈定服务对象的范围时，必
须把自己排除在外。这也就意味着，没有包罗万象的集合——至少它不能轻易包含自己。
这些悖论都源自“罪恶”的自指——当一套理论开始描述自身，就难免要出现悖论。
即使再不情愿，人们也不得不承认数学是不完美的，至少它没有自圆其说的能力。
尽管如此，仍有数学家想在限定的范围内负隅顽抗，他们找到一个完备的系统[1]，寻求能够判定命题真假的通用算
法。这就是德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）和威廉·阿克曼（Wilhelm Ackermann）在1928年提出的判定
问题（Entscheidungsproblem/decision problem）。
只可惜没过几年，这种可能性也被否定了。
1936年，两位年轻的数学家分别用不同的方法给出了判定问题的解答。一位是来自美国的阿隆佐·邱奇
（Alonzo Church），他引入了一种叫λ演算的方法，并最终证明没有任何通用算法可以判定任意两个λ
表达式是否相等；另一位就是来自英国的艾伦·图灵（Alan Turing），和枯燥的数学推理不同，他使用
了一种更有趣、更形象的模型，邱奇给了它一个响亮的名字——图灵机（Turing machine）。Turing's early experience
艾伦·麦席森·图灵（Alan Mathison Turing），1912-1954，英国数学家、计算机学家、逻辑
学家、密码学家、哲学家、理论生物学家。1912年6月23日，图灵出生于英国帕丁顿一个没落的贵族家庭，由于父母常年在印度工作，他和年
长4岁的哥哥一起被寄养在一对军人夫妇的家中。图灵的童年十分平凡，和普通男孩一样，经历过
调皮捣蛋和孤僻寡言的的阶段，他天性聪敏却有着严重偏科的倾向，许多教过他的老师对他的评
价并不高。
10岁那年，图灵接触到一本改变了他一生的童书——《儿童必读的自然奇迹》，这本科普读物打
开了一扇新世界的大门，图灵发现门的那边堆满了一种对他来说最有吸引力的知识——科学。他
开始疯狂地寻找和自学有关科学的一切知识，并用日用品做一些简单的化学实验。他很快意识到
手头的科普读物过于浅显，妨碍了他了解事物背后更深层的原理。他甚至写信给父母讨要真正的
科学书籍，而不是儿童百科。他写到：“《儿童必读的自然奇迹》中说，二氧化碳在血液里变成苏
打，又在肺里变回二氧化碳。如果可以，请把苏打的化学名称，最好是化学式寄给我，好让我看
看这个过程到底是怎么进行的。”13岁时，他已经对酒精等有机物的分子式和结构式了如指掌。
1926年，聪明好学而又对科学知识近乎偏执的图灵考入了舍尔伯尼中学。开学当天正赶上英国大
罢工，公共交通瘫痪，图灵竟用两天时间靠自行车征服了到学校的60英里（近100公里）路程。
这不是一次冲动之举，而是精心策划之下的行动，当地报纸还专门刊载了这一令人吃惊的事迹。
图灵很有才，也很有执行力，却在与人沟通上遇到了大麻烦。知子莫若母，图灵的母亲在为他寻
找合适的中学时就一度担心他没法适应公学[2]生活，成长为高智商、低情商的怪人。在讲究教条
与制度而不重视理性和科学的舍尔伯尼，图灵显得格格不入，被多数同学孤立和欺负，连老师也
经常拿他的小习惯开涮，这对一个心智尚未成熟的男孩来说非常可怕。他们的校长倒看得十分透
彻，曾警告图灵的父母：“我希望他不要两头都落空。如果他要留在公学，就必须以好好接受我
们的教育为目标；如果他只是想做科学家，那么呆在公学就是浪费时间。”
舍尔伯尼是当时英国社会的一个缩影，中学的经历也预示着图灵不被理解的一生。
1931～1934年，成年后的图灵在剑桥大学国王学院攻读数学专业。尽管这里的制度依旧古板，
像个放大版的舍尔伯尼，图灵依旧孤僻，但接触到了世界顶级的数学家和一流的学术专著，他
可以更专注于自己喜欢的领域，并包揽了许多数学方面的奖项。毕业后，图灵以优异的成绩成
为国王学院研究员。他在希尔伯特的问题上花费了整整一年的时间，最终在1936年的《伦敦数
学协会会刊》上发表了那篇改变世界的论文——《论可计算数及其在判定问题中的应用》，提
出了使其成为“计算机科学之父”的图灵机。Turing machine working principle
图灵机是图灵受打字机的启发而假想出来的一种抽象机器，其处理对象是一条无限长的一维
纸带。纸带被划分为一个个大小相等的小方格，每个小方格可以存放一个符号（可以是数字、
字母或其他符号）。有个贴近纸带的读写头，可以对单个小方格进行读取、擦除和打印操作。
为了让读写头能访问到纸带上的所有小方格，可以固定纸带，让读写头沿着纸带左右移动，
每次移动一格，或者固定读写头，让纸带左右移动——后一种方式类似当时穿孔带以及后来
磁带和磁盘的做法，但在纯理论讨论时为了方便说明，我们通常选用前一种方式。
那么读写头该如何移动，移动之前或移动之后又该作何操作呢？这取决于机器当前的状态，
以及读写头当前所指小方格中的内容，机器中有着一张应对各种情况的策略表。这就好比
有一只小猫，你往它碗里放些食物，它会根据自己饿不饿以及食物的类别判断吃还是不吃，
我们可以大体列出一张策略表：
在这个例子中，小猫就好比图灵机，碗就是纸带上的小方格，食物就是小方格中的符号。
当然这只是一个简化的类比，也有很多不挑食的小猫会吃白米饭，或者贪食的小猫即使
吃饱了看见鱼还是会继续吃。在理想情况下，当我们提供一排足够多的碗，并在碗中放
置更多种类的食物和玩具，猫在碗与碗间来回走动，就更像一台图灵机了。
为了更精确地说明，我们构造一台简单的图灵机，实现对纸带上所有3位二进制数的+1
操作（超过3位的进位将被丢弃），相邻两个二进制数之间通过一个空的小方格隔开，
形如下图所示，读写头从最右侧二进制数的最低位开始扫描，遇到连续2个空方格时认
为已处理完所有数，机器停机。
The strategy table is shown in the following table, where E means erase, P means print, and L means move left.
The Turing machine has 3 working states:
1)S1 是+1状态，也是机器的初始状态。如果读写头遇到的是0，则直接将0改为1即完
成了+1任务，左移一格后进入状态S；如果遇到的是1，则将1改为0，由于需要进位，
即对下一位+1，左移一格后仍留在状态S1 ；如果遇到的是一个空方格，即使当前需
要进位，也不做处理（将进位丢弃），左移一格后进入状态S3 。
2)S2 是左移状态，此时已实现当前二进制数的+1，需要将读写头移到下一个数的最
低位。如果遇到0或1，说明读写头还在当前二进制数上，继续左移；如果遇到空方
格，后面等着它的可能是下一个二进制数，也可能是永无止境的空方格，左移一格
之后进入状态S3 。
3)S3是判断状态，根据情况判断是否还有二进制数要处理。如果读写头遇到的是0或
1，说明当前位置是一个新的二进数的最低位，直接交给S1处理；如果遇到的仍是
空方格，说明后续不再有数据，停机。According to the above strategy, the process of the Turing machine processing paper tape is:
如法炮制，我们可以设计出具有各种功能的图灵机，而策略表的制定则类似于编程。
图灵想到，如果把策略表中的信息以统一的格式写成符号串（比如上表可以表达成
S1/0/EP1L/S2 S1/1/EP0L/S1 S1//L/S3 ……），然后放在纸带的头部，再设计一台
能在运行伊始时从纸带上读取这些策略的图灵机，那么针对不同的任务，就不需要
设计不同的图灵机，而只需改变纸带上的策略即可。这种能靠纸带定制策略的图灵
机，称为通用图灵机UTM（universal Turing machine）。
不单是策略表，其实用于描述图灵机的所有信息（包括所使用的符号、初始状态等）
都可以表达成纸带上的符号串。这就意味着，一台图灵机可以成为另一台图灵机的
输入。Determine the answer to the question
在试想一下，在有些情况下，一台图灵机如果长时间没有输出结果，那么它很可能
陷入了死循环或永无止境的计算中。这是我们不愿看到的，因为机器可能运行1分
钟后停机，也可能运行10天半个月甚至几十年才停机，亦或者永远也不会停机，这
个很难靠人为判断。假设我们构建出一台图灵机H，它接收其他图灵机及其输入信
息作为输入，并能够判定其是否会停机，就解决了上面的烦恼——构建这样的机器
难度虽大，但理论上是可行的。
这就是著名的停机问题（halting problem）。
H所处理的，本质上正是一种判定问题：某台图灵机在某输入上是否会停机。只
要找到一台H判定不了的机器，希尔伯特的美梦就破灭了。
令H表现如下图所示，如果其判定对象会停机则输出1，反之输出0。
我们再构建一台图灵机G，其运行流程如下图所示。如果H输出1，说明G会停机，
但事实上它将陷入循环；如果H输出0，说明G不会停机，但事实上它将停机。
悖论已经出现，H无法对G的停机问题进行判定。又一次归因于尴尬的自指：当
一个系统强大到一定程度时，终究会遇到无法处理自己的窘境。
因此，不存在一台图灵机，可以判定任意图灵机是否会停机。图灵机不是万能的，
判定问题的答案也是否定的。而这个看似有点耍赖的证明方式，有着图灵长达36
页的数学论证支撑。Profound meaning
图灵的工作不仅回答了希尔伯特的问题，更参透了数学和计算机的本质关系——
计算机是为解决数学问题而诞生的，却又基于数学，因而数学自身的极限也便框
定了计算机的能力范围。
图灵虽然证明了没有任何机器可以解决所有数学问题，却也证明了机器可以完成
所有人类能完成的计算工作，从如今的应用看来，后一个结论的意义重大得多。
从图灵开始，计算机有了真正坚实的理论基础，更多人开始投身计算机的理论研
究，而不仅是尝试构建一台机器。从如今的应用来看，图灵机之于计算机领域的
价值远高于数学领域，毕竟判定问题还有λ演算和许多其他解答，但计算机的原
始公式，只有图灵机这一个。
如今的所有通用计算机都是图灵机的一种实现，两者的能力是等价的。当一个
计算系统可以模拟任意图灵机（或者说通用图灵机）时，我们称其是图灵完备
的（Turing complete）；当一个图灵完备的系统可以被图灵机模拟时，我们称
其是图灵等效的（Turing equivalent）。图灵完备和图灵等效成为衡量计算机
和编程语言能力的基础指标，如今几乎所有的编程语言也都是图灵完备的，这
意味着它们可以相互取代，一款语言能写出的程序用另一款也照样可以实现。Afterword
论文正式发表之前，图灵只身前往美国普林斯顿，在那里找到了领先一步发表
成果的邱奇，并师从他继续深造。1937年，图灵嗅到了纳粹德国引战的可能，
开始把业余时间花在密码学的研究上。1938年，图灵在取得博士学位后返回了
正在紧张备战的英国，不多久，他便参与到政府的密码破译[3]项目中，和全国
各地顶尖的数学家们一起，在白金汉郡的布莱切利公馆（Bletchley Park）中
深居简出，左右世界战争的格局。
二战时期，各国已经使用无线电进行作战指挥，由于信号可以轻易被敌国接收，
需要对无线电内容进行加密，比如将“ABCD”改成“BCDE”发出去，当然军用的
加密方式不会如此简单。当时的德国使用一种叫谜机（Enigma machine）的
加密机器，按下某个字母的按键，其加密后对应的字母小灯就会亮起。内部
的转轮和接插线板将这种对应关系随意打乱，每按一次按键，转轮就会转动
一次，组合成新的对应关系，比如第一次按下A，D灯亮起，再按一次A，亮
起的可能是Z灯，毫无规律可循。更棘手的是，德军几乎每天都会变更其中的
接线。
The method of decryption is exhaustive, that is, traversing all possible correspondences until a meaningful keyword is found, which is exactly what the machine is best at. The British ally Poland successfully developed the bomba to solve the puzzle machine before the war. Unfortunately, Germany increased the number of wheels on the puzzle machine from 3 to 5 at the end of 1938. The complexity of decryption has exploded. The bomb machine designed for the 3-wheel puzzle machine has been declared obsolete before it became valuable in World War II. The key person to solve this puzzle is Turing, and the newly built bomb machine (bombe) successfully cracked the 5-wheel puzzle machine. The difficulty was so great that when Britain used the cracked information to sabotage the German operations for the first time, German cryptographic experts first ruled out the possibility of the mystery machine being cracked.
随后，对密码学有着深刻认识的图灵还探索出一种高效的解密算法，人称图
灵方法（Turingery），该算法成为布莱切利破解德国密码的核心理论。
布莱切利的工作是图灵在短暂的一生中，为人类所做的第二项伟大贡献。他
的成果使战争至少提前2年结束，挽救了至少1400万人的生命。前英国首相
温斯顿·丘吉尔曾表示，二战的胜利最该感谢的人就是图灵。
战后，图灵进入国家物理研究所，并设计了属于最早一批电子计算机之一
自动计算机ACE（Automatic Computing Engine），首次实现了他心目中的
通用图灵机。1950年3月10日，ACE的简化版Pilot ACE开始运行，完整的
ACE直到图灵去世之后才建成。
1948年，图灵成为曼彻斯特大学数学系讲师，并于次年担任学校计算机
实验室的副主任，负责计算机软件的研究。他还成为计算机企业的顾问，
帮助其研发商用电子计算机。1951年，英国皇家学会将图灵吸纳为会员。
这些年间，图灵的主要智慧仍留给了数学和计算机的理论研究。1950年，
第二篇影响世界的论文《计算机与智能》问世，在那个电子计算机才刚刚
起步的年代，高瞻远瞩的图灵用一个问题就叩开了人工智能的大门：“机器
会思考吗？”文中提出了著名的图灵测试（Turing test）：让一台机器躲在
挡板后回答测试人员的提问，看测试人员能否判断自己面对的是机器还是
真人。能否通过图灵测试，是衡量机器智能程度的重要指标。这位“人工智
能之父”过于乐观地预言：到2000年，计算机应该能“骗过”30%的测试人员。
图灵机、炸弹机、人工智能……图灵献给世界太多伟大的作品，却没能在
生前得到应有的名誉乃至起码的认可。人们始终觉得他是个难以亲近的怪
人，对其二战时期涉密的功绩更是一无所知。1952年，他因同性恋的罪名
被起诉，在坐牢和化学阉割之间，他无奈选择了后者，旁人的偏见和药物
的副作用使他承受着精神和肉体的双重痛苦。1954年6月7日晚上，他躺
在家里因氰化物中毒离开了人世，床头放着一个咬过的苹果，还有16天就
是他42岁的生日。尸检的结果认定图灵是通过毒苹果自杀的，却没有对这
个苹果做氢化物检测，他的母亲和哥哥却坚持认为这是一场化学实验导致
的意外，而真相只有图灵自知。
2009年，超过3万人在线请愿为图灵平反，英国首相戈登·布朗代表政府
公开道歉。2013年，英国女王伊丽莎白二世正式颁发皇家赦免，图灵终
于得到了迟来的公道。
1966年，美国计算机协会ACM（Association for Computing Machinery）
设立计算机领域的最高奖项，命名为图灵奖。图灵奖素有“计算机界的诺
贝尔奖”之称，图灵的名字当之无愧。
2019年，英国的中央银行——英格兰银行宣布，图灵的肖像将出现在新
版的50英镑纸币上，以此纪念这位改变了国家乃至整个世界命运的伟人。