1. Rodrigues-Rotationsformel
Angenommen, v ist ein dreidimensionaler Raumvektor, k ist der Einheitsvektor der Rotationsachse, dann wird der Vektor Vrot durch Drehen des Anfangsvektors V um die Rotationsachse k um einen Winkel θ im Sinne von erhalten Die rechte Schraubenregel kann sein: Die Rahmendarstellung besteht aus drei nicht koplanaren Vektoren v , k und k × v :
2. Matrixform
In der Computergrafik wird normalerweise die Vektorrotationsformel von Rodrig zum Ausfüllen der Rotationsmatrix verwendet. Wenn k und v als Spaltenvektoren geschrieben werden:
3. Definition des äquivalenten Rotationsvektors
(1)
Wie in der Abbildung gezeigt, wird es durch die Rodrigues-Rotationsformel erhalten:
Der nach der Drehung erhaltene Vektor r' ist eine Funktion des Drehwinkels und des Einheitsvektors u .
Dann wird der D-Ausdruck zu:
Wir 
nennen es äquivalenten Rotationsvektor ( äquivalenter Rotationsvektor, RV wird als Rotationsvektor bezeichnet ) .
4. Die Beziehung zwischen dem äquivalenten Rotationsvektor und der Richtungskosinusmatrix.
Es kann bewiesen werden, dass die Richtungskosinusmatrix C = D (D in Rodrigues Rotationsformel) ist, dann:
5. Lösen Sie den Rotationsvektor und den Rotationswinkel
6. Äquivalente Rotationsvektordifferentialgleichung
7. Lösung der äquivalenten Rotationsvektor-Differentialgleichung,
auch äquivalenter Rotationsvektor-Zwillingsprobenalgorithmus genannt:
Zusammenfassung: Der Richtungskosinusmatrix-Aktualisierungsalgorithmus und der Quaternion-Aktualisierungsalgorithmus werden beide erstellt, wenn das bewegte Koordinatensystem um eine „feste Achse“ gedreht wird. Wenn es sich nicht um eine „feste Achsendrehung“ handelt, kann die Änderungsmatrix oder Quaternion direkt gelöst werden durch das Winkelinkrement. , führt zu einem „nicht kommutativen“ Fehler. Um den „nicht kommutativen“ Fehler zu reduzieren, wird der äquivalente Rotationsvektor häufig durch Winkelinkrement gelöst und dann wird der äquivalente Rotationsvektor zum Aktualisieren der Richtung verwendet Kosinusmatrix oder Quaternion.