20221005 Zwei Rotationen dargestellt durch Quaternionen

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Quaternion-Definition

Die Definition von Quaternion stammt aus dem Satz von Euler, $$Q=\left[\mathrm{weil}\right(\frac{}{2}),N\mathrm{Sünde}(\frac{}{2})]$$ wobei$n$ ist die (Vektor-)Achse,$\varphi$ ist umn \boldsymbol{n}Euler-Winkel von$n\; .$

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Quaternion-Multiplikationsregel

Die spezifische Herleitung der Quaternion-Multiplikationsregel wird hier nicht angegeben. Das Verständnis besteht darin, zwei Rotationen durchzuführen. Die spezifische Regel lautet $$Q^{\text{'}}\otimes Q=\left[\begin{array}{l}{Q}_0^{}\ast Q_{}-Q_v^{}\cdot Q_{}\\ Q_0^{}\ast Q_{}+Q_{}\ast Q_v^{}+Q_v^{}\times Q_{}\end{array}\right]$$

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Rotation transformieren

Einer der Gründe, warum Leser über das Verständnis von Rotation verwirrt sind, ist, dass verschiedene Bücher unterschiedliche Rotationstransformationen verwenden.

Es gibt im Allgemeinen zwei Arten von Rotationstransformationen: (die zweite Art wird häufiger in Lagebeschreibungen verwendet)
1. Das Koordinatensystem bewegt sich nicht und der Vektor dreht sich
2. Der Vektor bewegt sich nicht und das Koordinatensystem dreht sich.

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Ausführliche Erklärung:

1. Das Koordinatensystem bewegt sich nicht und der Vektor dreht sich.Für
den ersten Typ ist der Anfangsvektor $R_{}$, wird nach räumlicher Drehung zu $R_{}$, bezogen auf $R_{}$Rotiere auf $R_{}$Der Vorgang wird als Quaternion $q$。则有$$\mathrm{Sache}\left(r_{}\right)=Q^{\ast }\otimes \mathrm{Sache}\left(r_{}\right)\otimes q$$展开可得
$$R_{}=\left((f_0^{}-Q_v^{}{Q}_{})Ich+2Q_{}{Q}_v^{}+2Q_{}{Q}_v^{}\right)R_{}$$

2. Der Vektor bewegt sich nicht, und das Koordinatensystem rotiert
Für den zweiten Typ, den festen Vektor $Die\; Projektion\; von\; r$ in das anfängliche Koordinatensystem ist$R^r$ , nachdem das anfängliche Koordinatensystem im Raum gedreht wurde, der feste Vektor$r$ wird in das neue Koordinatensystem als$R^b$ , der Prozess der Rotation zu einem neuen Koordinatensystem basierend auf dem ursprünglichen Koordinatensystem wird ausgedrückt als$q$ . Achten Sie auf zwei Punkte:1. Der Vektor hat sich nicht im Raum bewegt, aber das als Referenz verwendete Koordinatensystem hat sich geändert 2. Die Projektion, die wir zum Ausdruck bringen, ist nur eine mathematische Darstellung in verschiedenen Koordinatensystemen und bedeutet nicht, dass die Vektor hat sich bewegt.
$$\mathrm{Sache}\left(r^b\right)=Q\otimes \mathrm{Sache}\left(r^r\right)\otimes Q^{\ast }$$展开可得
$$R^B=\left((f_0^{}-Q_v^{}{Q}_{})Ich+2Q_{}{Q}_v^{}-2Q_{}{Q}_v^{}\right)R^R$$

注：$\mathrm{Sache}\left(r\right)=[0,r{]}^T$