【算法学习】动态规划Leetcode习题

动态规划开始比较绕，所以思考的时候先同自顶向下的方式思考清楚问题的结构，然后再反向自底向上+双重循环，动态规划的推导。

343. Integer Break

递归+计划化搜索方法
自顶向下的方式

// 递归+记忆化搜索 
class Solution {
private:
    vector<int> memo;
    int max3(int a, int b, int c){
        return max(a, max(b,c));
    }

    int breakInteger(int n){
        if(n==1)
            return 1;
        if(memo[n] != -1)  
            return memo[n];   //返回记录

        int res = -1;
        for(int i=1; i<=n-1; ++i)
            res = max3(res, i * (n-i) ,i * breakInteger(n-i));  // 重叠子问题
        memo[n] = res;
        return res;
    }

public:
    int integerBreak(int n) {
        assert(n>=2); //出于严谨考虑，让n>=2，其实根据提议要至少2部分。
        // 调用这个函数的时候，对memo进行初始化
        memo = vector<int>(n+1, -1); //n的问题，初始化为n+1个元素）
        return breakInteger(n);  //递归方法
    }
};

动态规划方法
自底向上
看出算法复杂度是O(n^2)

// 我自己写的动态规划！
class Solution {
private:
    vector<int> memo;
public:
    int integerBreak(int n) {
        assert(n>=2); //出于严谨考虑，让n>=2，其实根据提议要至少2部分。
        // 调用这个函数的时候，对memo进行初始化
        memo = vector<int>(n+1, -1); //n的问题，初始化为n+1个元素）
        memo[1] = 1;
        memo[2] = 1;
        for(int i=3; i<=n; ++i){
            int res = -1; //用于之后计算memo[i]的最大值
            for(int j=1; j<=i-1; ++j){
                int temp = max(j*memo[i-j],  j*(i-j)); //找出当前这步最大
                if(temp>res)
                    res=temp;
            }
            memo[i] = res;
        }
        return memo[n];

    }
};

老师的优化：就是用再进一步压缩求max(memo[i])的过程！

// 老师写的动态规划！
class Solution {
private:
    int max3(int a, int b, int c){
        return max(a, max(b,c));
    }

public:
    int integerBreak(int n) {
        assert(n>=2); 
        vector<int> memo(n+1,-1);
        memo[1] = 1;
        
        for(int i=2; i<=n; ++i)
            for(int j=1; j<=i-1; ++j)
                // //找出当前这步最大
                memo[i] = max3(memo[i], j*memo[i-j],  j*(i-j) );  
                
       return memo[n];         
    }
    
};

理解：状态、状态转移
状态——定义函数做什么（函数代表什么）
状态转移——函数怎么做

198 House Robber

初始递归方式：
函数定义（状态）：考虑抢劫nums[index, … nums.size()]范围内的所有房子

class Solution {
private:
    // memo[i]表示考虑抢劫nums[i...n]所能获得的最大收益
    // memo[i]和tryRob状态的定义是一致的！
    vector<int> memo;

    // 函数定义（状态）：考虑抢劫nums[index, .... nums.size()]范围内的所有房子
    int tryRob(vector<int> &nums, int index){

        //递归终止条件
        if(index >= nums.size())
            return 0;
        if(memo[index] != -1)
            return memo[index];

        int res = 0;
        for(int i=index;i<nums.size(); ++i){  
            res = max(res, nums[i] + tryRob(nums, i+2));
        }
        memo[index] = res;
        return res;
    }
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        memo = vector<int>(nums.size(), -1);
        return tryRob(nums, 0);
    }
};

动态规划方式：
其中可以这样拆分：

1. 这里用了双重循环；
   好好斟酌一下用双重循环和单重循环的区别之处。
2. memo[i]的获取方式；
   memo[i]的意思是：第i个位置开始偷到的最大值！所以要有一个max的过程！（取max有技巧的！）
   memo[i] = nums[j] + memo[j+2];

然后目的是求出memo[i]的最大，所以用tip：
memo[i] = max(memo[i], nums[j] + memo[j+2])
然后记得考虑数组越界的情况，详细见下面代码！

int rob(vector<int> &nums){
        int n = nums.size();
        if(n==0)
            return 0;

        vector<int> memo(n, -1);
        memo[n-1] = nums[n-1];
        // 递推解决
        for(int i=n-2; i>=0; --i)
            for(int j=i; j<n; j++)
                // 关键这一步，然后max也找出了memo[i]最大值
                memo[i] = max(memo[i], nums[j] + (j+2<n ? memo[j+2]:0));

        return memo[0];
    }