高等数学之函数与极限

1、映射与函数

映射 {x} {y}
定义:两个非空集合 X Y ,若存在法则 f ,使 X 中每个元素 x Y 中都能确定唯一元素 y 与之对应,则称 f X Y 的映射,记 作 f x y
X:{0,1,2,3} Y:{0,2,4,6}; f x y y=f[x]=2x
函数 y=f[x]
定义:数集 D R, 则称映射 f: D R 为定义在 D 上的函数,记为 y=f(x) x D, x 为自变量, y 为因变量, D 为定义
 

下面用Python代码画出常见初等函数。

#导入模块
import numpy as np
import pandas as dp
import matplotlib.pyplot as plt 

#不发出警告
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')
#基本初等函数:三角函数
# f(x) = sin(ax)
x = np.linspace(-10,10,num = 50)
y = np.sin(x)

plt.scatter(x,y,marker='.')
plt.plot(x,y)

# 辅助线
plt.axvline(0,color = 'gray',linestyle = '--',alpha=0.8)  
plt.axhline(0,color = 'gray',linestyle = '--',alpha=0.8)  

 
#基本初等函数:反三角函数
# f(x) = arcsin(x)
x = np.linspace(-1,1,num = 50)
y = np.arcsin(x)

plt.scatter(x,y,marker='.')
plt.plot(x,y)

# 辅助线
plt.axvline(0,color = 'gray',linestyle = '--',alpha=0.8)  
plt.axhline(0,color = 'gray',linestyle = '--',alpha=0.8) 

# 基本初等函数:幂函数
# f(x) = x**a  比如a=2

x = np.linspace(-10,10,num = 50)
y = x**2

plt.scatter(x,y,marker='.')
plt.plot(x,y)

# 辅助线
plt.axvline(0,color = 'gray',linestyle = '--',alpha=0.8)  
plt.axhline(0,color = 'gray',linestyle = '--',alpha=0.8) 

# 基本初等函数:对数函数
# f(x) = loga(x)

x = np.linspace(-np.pi,2*np.pi,num = 50)
y = np.log2(x)

plt.scatter(x,y,marker = '.')
plt.plot(x,y)

plt.axvline(0,color = 'gray',linestyle = '--',alpha=0.8)  
plt.axhline(0,color = 'gray',linestyle = '--',alpha=0.8) 

2、数列及其极限

一组有序的数,数列中的每一个数都叫做这个数列的项,排在第一位的数称作这个数列的首项(第一项),排在第二位的称作第二项,以此类推,排在第n位的称作第n项。

数列: { A n } = { A 1 ,A 2 , A 3, ...,A n, ... } ;
 
#生成一个含有11个数的数列
alist = []
for n in range(1,11):
    alist.append('%i/%i' % (n,n+1))
alist  # 这里为了显示所以用字符串表示

数列的极限
定义:设 { A n } 为一数列,如果存在常数 a 对任意给定的正数 ϵ , 不论这个数多么小,总存在正整数 N ,使得当 n > N 时,不等式 A n - a < ϵ 都成立, 那么常数 a 是数列 { A n } 的极限,记为 lim ( n →∞ ) A n = a。 有极限的数列为收敛数列。
下面通过代码来观察数列的收敛情况。
x = np.arange(50)
y = x/(x+1)

plt.scatter(x,y,marker='.')
plt.plot(x,y)

3、函数的极限

由于极限表示本人在博客的编辑器里不太会表示,懒得研究了,请自行查阅高等数学书籍,下面演示一个用代码画出函数图形观察其极限的例子。

x = np.linspace(-1,2,num=50)
y = x**2 - 1

plt.scatter(x,y,marker='.')
plt.plot(x,y)

plt.axvline(0,color = 'gray',linestyle = '--',alpha = 1)
plt.axhline(0,color = 'gray',linestyle = '--',alpha = 1)

plt.axhline(-1,color = 'red',alpha=0.8)  
#x 趋于0时 函数极限值为-1

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