## Hash算法
[TOC]
### 简介
Hash，又称散列，它通过对数据进行计算，得出该数据的对应位置，使得数据和存放位置相对应，从而完成高效的查找。
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## 1. $Hash$函数的构造
### 1.1 取余法
用关键字$k$除以$M$，取余数作为地址。
$$h(k)=k \bmod M$$
经验上$P$可以为$k$的取值可能数的1\~2倍范围内的素数或$k$的取值可能数本身。
这类函数主要用于整数。
### 1.2 乘积取整法
用关键字$k$乘一个在$(0,1)$中的实数$A$（最好是无理数），取其小数部分，乘$M$并取整，作为地址。
$$h(k)=\left\lfloor{M(kA\bmod1)}\right\rfloor$$
经验上$A$可以为$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。
这类函数主要用于小数。
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## 2. 冲突的处理
大部分的散列表无法避免冲突(~~废话~~) 。因此需要一些数据结构来解决这些冲突。
### 2.1 挂链法
顾名思义，当出现冲突时，用链表将这两个关键字连起来。看看代码~~有点像向量存图~~：
```cpp
const int array_size=1e5+5;//数组大小
vector<int>lis[array_size];
void get_hash(int key)//加入一个值为key的元素
{
int buc=f(key);
lis[buc].push_back(key);
}
bool check(int key)//查找一个元素是否存在于Hash表中
{
int buc=f(key);
for(int i=0;i<lis[buc].size();i++)
if(lis[buc][i]==key)
return true;
return false;
}
```
在键值均匀分布的前提下，挂链法操作的时间复杂度为$O(n\text{length}(\text{Hash table}))$。
### 2.2 开放定址法
这种方法将所有元素直接存于散列表中，因此散列表大小不能小于元素个数。开放定址法中有一个特殊的函数$H(x,k)$，指明如果前$k$次访问失败，下一次应访问哪一个位置。这个函数有三种构造方式：
#### (1) 线性探查法
$$H(x,k)=(x+1)\bmod \text {array\_size}$$
#### (2)二次探查法
$$H(x,k)=(x+k^2)\bmod \text{array\_size}$$
#### (3)双哈希法
这种方法需要引入一个新的$Hash$函数$newh(x)$:
$$H(x,k)=(x,k\times newh(x))\bmod\text{array\_size}$$
其中线性探查法有最优的缓存访问与计算消耗，二次探查法次之，双哈希法最劣。不过双哈希法的概率相等，能够避免“聚集”，即大量$Hash$值接近的情况。
三种方法代码类似：
```cpp
const int array_size=1e5+5;//数组大小
int val[array_size];
int H(int buc,int opercnt){…}//上文提到的函数
void get_hash(int key)//加入元素操作
{
int buc=f(key,array_size);
while(val[buc]!=key&&val[buc])
buc=(buc==array_size-1?0:buc+1);
}
bool check(int key)//查询元素操作
{
int buc=f(key,array_size),opercnt=0;
while(val[buc]!=key&&val[buc])
buc=H(buc,opercnt++);
return val[buc]==key;
}
```
在键值均匀分布的前提下，开放定址法时间复杂度为$O(\text{length(Hash table)/(length(Hash table)}-n))$
## 3. 结语
以上是一些Hash的常用方法，~~限于篇幅~~这里仅提到了数值的哈希。
Hash还有更多的~~骚操作~~应用，如字符串哈希，排列哈希，树或图的哈希，我在Hash哈希（下）会提到的(光速逃
→To be continued…