96. 不同的二叉搜索树（卡特兰数）

二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n)，令f(i)为以i为根的二叉搜索树的个数，则
$G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n)$
当i为根节点时，其左子树节点个数为i-1个，右子树节点为n-i，则
$f(i) = G(i-1)*G(n-i)$
综合两个公式可以得到 卡特兰数 公式
$G(n) = G(0)*G(n-1)+G(1)*G(n-2)+...+G(n-1)*G(0)$
G(n)函数的值被称为 卡特兰数，卡特兰数更便于计算的定义如下:
$C0=1,Cn+1={2(2n+1)\over n+2}Cn$
卡特兰数：

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452

所求即为：G（n）

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
    	int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        
        for(int i = 2; i < n + 1; i++)
            for(int j = 1; j < i + 1; j++) 
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
        
        return dp[n];
    }
}

官方题解：

class Solution {
  public int numTrees(int n) {
    // Note: we should use long here instead of int, otherwise overflow
    long C = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
    }
    return (int) C;
  }
}