从零开始学Pytorch（三）之多层感知机的实现

多层感知机的基本知识

我们将以多层感知机（multilayer perceptron，MLP）为例，介绍多层神经网络的概念。

隐藏层

下图展示了一个多层感知机的神经网络图，它含有一个隐藏层，该层中有5个隐藏单元。

表达公式

设小批量样本 $\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}$， $n$为批量大小， $d$为1输入个数。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为 $h$。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为 $\boldsymbol{H}$，有 $\boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h}$。设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为 $\boldsymbol{W}_h \in \mathbb{R}^{d \times h}$和 $\boldsymbol{b}_h \in \mathbb{R}^{1 \times h}$，输出层的权重和偏差参数分别为 $\boldsymbol{W}_o \in \mathbb{R}^{h \times q}$和 $\boldsymbol{b}_o \in \mathbb{R}^{1 \times q}$。

下面是单隐藏层的多层感知机的设计。其输出 $\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}$的计算为

$\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}$

将以上两个式子联立起来，得：

$\boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o.$

从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为 $\boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o$，偏差参数为 $\boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o$。所以即便再添加更多的隐藏层，依然只与仅含输出层的单层神经网络等价。

激活函数

以上问题在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。所以需要一个非线性函数来进行变换，打破这种仿射变换，然后输出再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。

下面我们介绍几个常用的激活函数：

ReLU函数

ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个简单的非线性变换。给定元素 $x$，该函数定义为

$\text{ReLU}(x) = \max(x, 0).$

由上述可得，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。下面我们把ReLU函数画出来。先定义一个绘图函数xyplot。

注：d2lzh1981为一个包名，先封装好然后可以直接调用；具体代码在下面Github页面上：https://github.com/d2l-ai/d2l-zh/tree/master/d2lzh

%matplotlib inline
import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sys
sys.path.append("/home/input") #文件夹路径
import d2lzh1981 as d2l
def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    # d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
    plt.plot(x_vals.detach().numpy(), y_vals.detach().numpy())
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel(name + '(x)')
x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')

y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')

Sigmoid函数

sigmoid函数将元素的值变换到0和1之间：

$\text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}.$

y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')

对sigmoid函数求导，其导数为：
$\text{sigmoid}'(x) = \text{sigmoid}(x)\left(1-\text{sigmoid}(x)\right).$

tanh函数

tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：

$\text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}.$

当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。tanh函数在坐标系的原点上对称。

y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')

tanh的导数为：
$\text{tanh}'(x) = 1 - \text{tanh}^2(x).$

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

激活函数的选择

ReLu函数是一个通用的激活函数，一般都用ReLu。但是，ReLU函数只能在隐藏层中使用。
用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数。

多层感知机

多层感知机含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。
$\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \phi(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h),\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}$

多层感知机从零开始的实现

import torch
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/input") #文件夹路径
import d2lzh1981 as d2l
#获取数据集
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='/home/input/FashionMNIST2065')
#自定义模型参数
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

W1 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, num_hiddens)), dtype=torch.float)
b1 = torch.zeros(num_hiddens, dtype=torch.float)
W2 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_hiddens, num_outputs)), dtype=torch.float)
b2 = torch.zeros(num_outputs, dtype=torch.float)

params = [W1, b1, W2, b2]
for param in params:
    param.requires_grad_(requires_grad=True)
#定义激活函数
def relu(X):
    return torch.max(input=X, other=torch.tensor(0.0))
#定义网络
def net(X):
    X = X.view((-1, num_inputs))
    H = relu(torch.matmul(X, W1) + b1)
    return torch.matmul(H, W2) + b2
#定义损失函数
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()
#训练
num_epochs, lr = 5, 100.0
 def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size,
               params=None, lr=None, optimizer=None):
     for epoch in range(num_epochs):
         train_l_sum, train_acc_sum, n = 0.0, 0.0, 0
         for X, y in train_iter:
             y_hat = net(X)
             l = loss(y_hat, y).sum()
             
             # 梯度清零
             if optimizer is not None:
                 optimizer.zero_grad()
             elif params is not None and params[0].grad is not None:
                 for param in params:
                     param.grad.data.zero_()
            
             l.backward()
             if optimizer is None:
                 d2l.sgd(params, lr, batch_size)
             else:
                 optimizer.step()  # “softmax回归的简洁实现”一节将用到
             
             
             train_l_sum += l.item()
             train_acc_sum += (y_hat.argmax(dim=1) == y).sum().item()
             n += y.shape[0]
         test_acc = evaluate_accuracy(test_iter, net)
         print('epoch %d, loss %.4f, train acc %.3f, test acc %.3f'
               % (epoch + 1, train_l_sum / n, train_acc_sum / n, test_acc))

d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, params, lr)

多层感知机pytorch简洁实现

import torch
from torch import nn
from torch.nn import init
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/input")
import d2lzh1981 as d2l
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
    
net = nn.Sequential(
        d2l.FlattenLayer(),
        nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),
        nn.ReLU(),
        nn.Linear(num_hiddens, num_outputs), 
        )
    
for params in net.parameters():
    init.normal_(params, mean=0, std=0.01)
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
    
net = nn.Sequential(
        d2l.FlattenLayer(),
        nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),
        nn.ReLU(),
        nn.Linear(num_hiddens, num_outputs), 
        )
    
for params in net.parameters():
    init.normal_(params, mean=0, std=0.01)