第一章 函数与极限

本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念以及它们的一些性质。 ——高等数学同济版

习题 1-1 映射与函数

映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一种。本节主要介绍映射、函数及有关概念、函数的性质与运算等。——高等数学同济版

  本节主要介绍映射和函数的有关基础概念，相对简单。

习题 1-2 数列的极限

  这一节主要介绍了数列极限的定义和收敛数列的性质。

3.下列关于数列 ${a_n}$的极限是 $a$的定义那些是对的，哪些是错的？如果是对的，是说明理由；如果是错的，试给出一个反例。

（2）对于任意给定的 $\varepsilon<0$，存在 $\mathit{N}\in\mathbf{N_+}$，当 $n>N$时，有无穷多项 $x_n$，使不等式 $|x_n-a|<\varepsilon$成立；

解  错误；如对数列
$x_n= \begin{cases} n,&n=2k-1,\\ 1-\frac {1}{n},&n=2k, \end{cases} \quad k\in\mathbf{N_+},\quad a=1.$
对任意给定的 $\varepsilon>0$（设 $\varepsilon<1$），存在 $N=[\ \cfrac {1}{\varepsilon}\ ]$，当 $n>N$且 $n$为偶数时， $|x_n-a|\ =\ \cfrac {1}{n}<\varepsilon$成立，但 ${x_n}$的极限不存在。（无穷多项满足不等于全部满足）

习题 1-3 函数的极限

  这一节主要包括了函数极限的定义及基本性质，理解即可。

习题1-4 无穷小与无穷大

  这一节主要介绍了无穷小和无穷大。

7.证明：函数 $y=\cfrac {1}{x}\sin\cfrac{1}{x}$在区间 $(0,1]$内无界，但这个函数不是 $x\to0^+$时的无穷大。

证   先证函数 $y=\cfrac {1}{x}\sin\cfrac{1}{x}$在区间 $(0,1]$内无界。
  因为 $\forall M>0$，在区间 $(0,1]$中总可以找到点 $x_0$，使 $f(x_0)>M$。例如可取 $x_0=\cfrac {1}{2k\pi+\cfrac {\pi}{2}}(k\isin\mathbf N)$，则 $f(x_0)=2k\pi+\cfrac {\pi}{2}$，当 $k$充分大时，可使 $f(x_0)>M$。所以 $y=\cfrac {1}{x}\sin\cfrac{1}{x}$在区间 $(0,1]$内无界。

  再证函数 $y=\cfrac {1}{x}\sin\cfrac{1}{x}$不是 $x\to0^+$时的无穷大。

  因为 $\forall M>0$， $\delta>0$，总可以找到点 $x_0$，使 $0<x_0<\delta$，但 $f(x_0)<M$。例如，可取 $x_0=\cfrac {1}{2k\pi}(k\isin\mathbf N_+)$，当 $k$充分大时， $0<x_0<\delta$，但 $f(x_0)=2k\pi \sin\ 2k\pi=0<M$。所以， $y=\cfrac {1}{x}\sin\cfrac{1}{x}$不是 $x\to0^+$时的无穷大。（这道题比较唬人，需要仔细分析题目才可以完成）

习题1-5 极限运算法则

本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限。——高等数学同济版

  本节主要介绍了极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则。

习题 1-6 极限存在准则 两个重要极限

  该节主要介绍了极限存在准则和 $\lim\limits_{x\to0}\cfrac {\sin x}{x}=1$及 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\cfrac{1}{x}\right)^x=e$。

习题 1-7 无穷小的比较

  本节介绍了有关于无穷小的比较方法，包括了以下的常用替换公式。
  当 $x\to0$时，以下公式成立：
$\sin x\sim x\\ 1-\cos x\sim\cfrac {1}{2} x^2\\ \tan x\sim x\\ \arcsin x\sim x\\ \arctan x\sim x\\ a^x-1\sim x\ln a\\ \ln(x+1)\sim x\\ (1+\beta x)^\alpha-1\sim1+\alpha\beta x\\ x-\sin x\sim\frac{x^3}{6}\\ \log_a(1+x)\sim\frac{x}{\ln a}$

5.利用等价无穷小的性质，求下列极限：

（4） $\lim\limits_{x\to 0}\cfrac{\sin x-\tan x}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$

解  
$\begin{aligned}\lim\limits_{x\to 0}\cfrac{\sin x-\tan x}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)}&=\lim\limits_{x\to 0}\cfrac{\sin x(1-\sec x)}{\cfrac{1}{3}x^2\cdot\cfrac{1}{2}\sin x}\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\cfrac{-\cfrac{1}{2}x^2}{\cfrac{1}{6}x^2}=-3\end{aligned}$
  (这道题主要利用常用公式求解，否则不易想到求解方法)

习题 1-8 函数的连续性与间断点

  这一节主要介绍了函数的连续性以及间断点的分类。

3.下列函数在指出的点出间断，说明这些间断点属于哪一类。如果使可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：

（2） $y=\cfrac{x}{\tan x},x=k\pi,x=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\qquad(k=0,\pm1,\pm2\dots);$

解  对 $x=0$，因为 $f(0)$无定义， $\lim\limits_{x\to 0}\cfrac{x}{\tan x}=\lim\limits_{x\to 0}\cfrac{x}{x}=1$，所以 $x=0$为第一类间断点（可去间断点），重新定义函数：
$f_1(x)=\begin{cases} \cfrac{x}{\tan x},&x\neq k\pi,k\pi+\cfrac{\pi}{2},\\ 1,&x=0 \end{cases}\qquad (k\in\mathbf Z),$
则 $f_1(x)$在 $x=0$处连续。
  对 $x=k\pi(k=\pm1,\pm2\dots)$，因为 $\lim\limits_{x\to k\pi}\cfrac{x}{\tan x}=\infty$，所以 $x=k\pi(k=\pm1,\pm2\dots)$为第二类间断点（无穷间断点）。（由于 $\tan x$可以有取值，这里容易误认为 $x=k\pi(k=\pm1,\pm2\dots)$也为第一类间断点）
  对 $x=k\pi+\cfrac{\pi}{2} (k\in\mathbf Z)$，因为 $\lim\limits_{x\to k\pi+\frac{\pi}{2}}\cfrac{x}{\tan x}=0$，而函数在 $k\pi+\cfrac{\pi}{2}$处无意义，所以 $x=k\pi+\cfrac{\pi}{2} (k\in\mathbf Z)$为第一类间断点（可去间断点），重新定义函数：
$f_2(x)=\begin{cases} \cfrac{x}{\tan x},&x\neq k\pi,k\pi+\cfrac{\pi}{2},\\ 0,&x=k\pi+\cfrac{\pi}{2} \end{cases}\qquad (k\in\mathbf Z),$
则 $f_2(x)$在 $x=k\pi+\cfrac{\pi}{2} (k\in\mathbf Z)$处连续。（这里由于 $\tan x$取不到值，可能误认为该处为第二类间断点）

习题1-9 连续函数的运算与初等函数的连续性

  本节介绍较为复杂的连续性证明以及在间断点处的极限求解，较难。

4.求下列极限：

（5） $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\cfrac{3+x}{6+x}\right)^{\cfrac{x-1}{2}}$；

解
$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\cfrac{3+x}{6+x}\right)^{\cfrac{x-1}{2}}=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\left(1-\cfrac{3}{6+x}\right)^{-\cfrac{6+x}{3}}\right]^{-\cfrac{3}{2}}\cdot\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\cfrac{3}{6+x}\right)^{-\cfrac{7}{2}}=e^{-\frac{3}{2}}.$

（6） $\lim\limits_{x\to0}\cfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x\sqrt{1+\sin^2x}-x}$；

解
$\begin{aligned}\lim\limits_{x\to0}\cfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x\sqrt{1+\sin^2x}-x}&=\lim\limits_{x\to0}\cfrac{\tan x-\sin x}{x(\sqrt{1+\sin^2x}-1)(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})}\\ &=\lim\limits_{x\to0}(\cfrac{\sin x}{x}\cdot\cfrac{\sec x-1}{\sqrt{1+\sin^2x}-1}\cdot\cfrac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}})\\ &=\lim\limits_{x\to0}\cfrac{\sin x}{x}\cdot\lim\limits_{x\to0}\cfrac{\cfrac{1}{2}x^2}{\cfrac{1}{2}\sin^2x}\cdot\lim\limits_{x\to0}\cfrac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}\\ &=1\cdot1\cdot\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}.\end{aligned}$

（8） $\lim\limits_{x\to0}\cfrac{e^{3x}-e^{2x}-e^x+1}{\sqrt[3]{(1-x)(1+x)}-1}$；

解
$\lim\limits_{x\to0}\cfrac{e^{3x}-e^{2x}-e^x+1}{\sqrt[3]{(1-x)(1+x)}-1}=\lim\limits_{x\to0}\cfrac{(e^{2x}-1)(e^x-1)}{(1-x^2)^{\frac{1}{3}}-1}=\lim\limits_{x\to0}\cfrac{2x\cdot x}{-\cfrac{1}{3}x^2}=-6.$
（这方面主要涉及到分解因式和等价无穷小替换，要多练习）

5.设 $f(x)$在 $\mathbf R$上连续，且 $f(x)\ne0$， $\varphi(x)$在 $\mathbf R$上有定义，且有间断点，则下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例。

（1） $\varphi[f(x)]$必有间断点；

解  错。例如， $\varphi(x)=\mathinner{\text{sgn}} x,f(x)=e^x,\varphi[f(x)]\equiv1$在 $\mathbf R$上处处连续。（这个情况比较少见，很难想到）

习题1-10 闭区间上连续函数的性质

在闭区间上连续的函数有几个重要的性质，今以定理的形式叙述它们。——高等数学同济版

  这一节主要讲述了有关于函数连续的几个重要性质。

4.证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程 $a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}=0$至少有一实根，其中 $a_0,a_1,\cdots,a_{2n+1}$均为常数， $n\in\mathbf N$

证  当 $x$的绝对值充分大时， $f(x)=a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}$的符号取决于 $a_0$的符号，即当 $x$为正与 $a_0$同号，当 $x$为负与 $a_0$异号，且 $a_0\ne0$。因 $f(x)$是连续函数，它在某充分大的区间的两端处异号，由零点定理可知它在某一区间内某一点处必定为零，故方程 $a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}=0$至少有一实根。（个人认为这个证明并不严谨，过于简单，意思很明白但不太符合数学规范，答案给的是这个。）

总习题一

9.求下列极限：

（5） $\lim\limits_{x\to0}\left(\cfrac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}.$

解  因为
$\left(\cfrac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}=\left(1+\cfrac{a^x+b^x+c^x-3}{3}\right)^{\cfrac{3}{a^x+b^x+c^x-3}\cdot\frac{1}{3}\left(\cfrac{a^x-1}{x}+\cfrac{b^x-1}{x}+\cfrac{c^x-1}{x}\right)},$
  而
$\left(1+\cfrac{a^x+b^x+c^x-3}{3}\right)^{\cfrac{3}{a^x+b^x+c^x-3}}\to e(x\to0),\\ \cfrac{a^x-1}{x}\to\ln a,\qquad\cfrac{b^x-1}{x}\to\ln b,\qquad\cfrac{c^x-1}{x}\to\ln c(x\to0),$
  所以
$\lim\limits_{x\to0}\left(\cfrac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{\cfrac{1}{x}}=e^{\frac{1}{3}(\ln a+\ln b+\ln c)}=(abc)^{\frac{1}{3}}.$
（这道题代换有点复杂，能想清楚代换过程即可）

14.如果存在直线 $L:y=kx+b$，使得当 $x\to\infty$（或 $x\to+\infty,x\to-\infty$）时，曲线 $y=f(x)$上的动点 $M(x,y)$到直线 $L$的距离 $d(M,L)\to0$，那么称 $L$为曲线 $y=f(x)$的渐近线。当直线 $L$的斜率 $k\ne0$时，称 $L$为斜渐近线。

（1）证明：直线 $L:y=kx+b$为曲线 $y=f(x)$的渐近线的充分必要条件是 $k=\underset{\begin{pmatrix}x\to+\infty\\x\to-\infty\end{pmatrix}}{\lim\limits_{x\to\infty}}\cfrac{f(x)}{x},\qquad b=\underset{\begin{pmatrix}x\to+\infty\\x\to-\infty\end{pmatrix}}{\lim\limits_{x\to\infty}}[f(x)-kx];$

解   就 $x\to+\infty$的情形证明，其他情况类似。
  设 $L:y=kx+b$为曲线 $y=f(x)$的渐近线。
   $1^。$若 $k\ne0$，如下图所示， $k=\tan\alpha$（ $\alpha$为 $L$的倾角， $\alpha\ne\cfrac{\pi}{2}$），曲线 $y=f(x)$上的动点 $M(x,y)$到直线 $L$的距离为 $|MK|$。过 $M$作横轴的垂线，叫直线 $L$于 $K_1$，则

$|MK_1|=\cfrac{|MK|}{\cos\alpha}.$
  显然 $|MK|\to0(x\to+\infty)$与 $|MK_1|\to0(x\to+\infty)$等价，而
$|MK_1|=|f(x)-(kx+b)|.$
  因为 $L:y=kx+b$是曲线 $y=f(x)$的渐近线。所以
$|MK|\to0(x\to+\infty)\Rightarrow|MK_1|\to0(x\to+\infty),$
  即
$\begin{matrix} \lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]=0,&\qquad(1) \end{matrix}$
  从而
$\begin{aligned} k&=\lim\limits_{x\to\infty}\cfrac{f(x)}{x},\qquad \\b&=\lim\limits_{x\to\infty}[f(x)-kx] \end{aligned}$
（在考纲上明确要求会求函数的水平、垂直及斜渐近线，但斜渐近线只有在第一章题目中明确提及定义和求法，记录于此作为提醒）

写在最后

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