本文是对《Arbitrary-Order Proximity Preserved Network Embedding》一文的浅显翻译与理解，原文章已上传至个人资源，如有侵权即刻删除。

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前言
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前言

该文通过利用奇异值分解和特征值分解，保持了网络嵌入任意阶相似度，并且能以低边缘损失在任意阶相似度中转换，给出确定阶数，可以得到全局最优解。

通过网络的邻接矩阵 A，生成相似度矩阵 S，对 S 进行奇异值分解，得到左右奇异矩阵，就可以与奇异值矩阵组合形成两个嵌入向量。

直接对 S 进行奇异值分解比较麻烦，而且算法需要在不同阶之间变动，因此用特征值分解来代替奇异值分解。通过计算 A 的特征分解结果，可以直接推出 S 的结果，取前 top-d，就可以认为还原出了数据本身。

问题在于，阶数不同，A 对应的相似度矩阵 S 的维度也不尽相同，无法保证 A 的 top-d 结果就与 S 的 top-d 结果正好相关。因此通过 d 计算出 A 的 l 值，面对任何阶数，都可以通过计算并取 A 的 top-l 结果得到 S。

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《Arbitrary-Order Proximity Preserved Network Embedding》（保持任意阶相似度的网络嵌入）
——KDD2018: 24th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery & Data Mining
Author: Ziwei Zhang

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文章提出了两个问题：
（1）所有现行算法仅能够保持固定阶相似度，尽管不同网络和目标应用经常需求不同阶的相似度；
（2）给出一个定阶的相似度，现行算法难以同时保证准确度和效率。

算法给出了三个保障：
（1）本算法在不同阶间转换嵌入向量的边际成本较低；
（2）给出一个确定的阶，本算法可以得到全局最优解；
（3）本算法的总体时间复杂度对网络大小呈线性。

算法过程如下：
在这里插入图片描述
输入邻接矩阵、维度和不同的高阶相似度函数，可以得到输出为嵌入向量 U*_i 和 V*_i，其中 r 为阶数。全过程简述为：计算 A 的 top-l 特征分解结果，并对特征值根据不同阶数重加权，加权结果以绝对值大小降序排列取 top-d，根据式(4)计算 top-d 的 SVD 结果并根据式(5)返回嵌入向量。

向量 U*_i 和 V*_i 来自于 S 的 SVD 分解，即：
在这里插入图片描述
w为权重，q为阶数，对每个阶数q，其计算都是从 1^st 到 q^th 的加权组合，得到的 S 是矩阵形式。

嵌入的表示形式为：
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U,V 分别为左右奇异矩阵，其每一列代表一个左右奇异向量，∑ 为奇异值矩阵。
[U,Σ,V]定义为 S 的top-d 的 SVD 结果，可以认为取 d 个最大奇异值，就能还原数据本身。

目标函数为：
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由于直接求解 S 的 SVD 麻烦，且算法需要在不同阶数间变动，因此用特征值分解代替奇异值分解。即 S = XΛX^T，X 为标准正交阵，有 XX^T = I,Λ 为特征值对角矩阵。

定理4.1（两种分解之间的转换）
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对 S 的特征值分解，由于不同相似度的特征值高度相关，则用式(1)中定义的任意阶相似度形式来解决特征分解问题。

定理4.2（用 A 代替算 S）
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证明如下：

则在不对 S 进行特征分解的情况下，可以通过用 F(λ)代替 λ，可以从 A 的特征分解结果得到 S 的。

问题在于，特征分解按照结束的不同重加权后，特征值的阶数或维度就发生改变，即 S 的 top-d 不一定与 A 的 top-d 保持一致。因此需要通过 d 计算出 A 的 l 值，有 l = L(A,d)，此时 A 的 top-l 就可以对应 S 的 top-d。
根据定理4.2，有：
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其中 pi 即在 F(·)高阶转换前 λ’_i 的阶数，只需要 A 的 top-pi 特征分解就能得到 S 的λ’(1…d)。