欧拉项目 323题

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这道题乍一看是位运算，其实是一道和概率分布相关的题目。

有y0 y1 y2一系列32bits的无符号数
x初始为0，然后和这一系列数异或操作，操作了N次，直到x是2^32-1，其实就是x所有bits都是1。
求N的期望值。

期望怎么计算呢？
计算对于每一个n对应的概率p(n)，然后加权求和。
我们现在逐一分析一下
N为1，那么说明y0每一个bits都是1，概率是1/(2^32)
N为2，针对每个bit进行计算，第一个bit，结果是1的概率是1减去不是1的概率，不是1的概率就是y0的第一bit不是0，y1的第一bit也不是0，概率是1/(2^2)，那么p(2)=(1-1/(2^2))^32 - p(1)
N为3，p(3)=(1-1/(2^3))^32 - p(1) - p(2)
以此类推
题目要求小数点后十位，如果p(n)很小，乘以n对结果都没有影响了，也就是p(n)*n小于10的十次方。

我计算的时候搞了一个数据结构保存概率的分子和分母。我解答出来之后，看了下别人的分析，感觉直接使用double 来保存概率也能给出正确答案，我没有试，不确定。
下面是我的代码：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

public class { public BigInteger Numerator { get; set; } public BigInteger Denominator { get; set; } public (BigInteger numerator, BigInteger denominator) { Numerator = numerator; Denominator = denominator; } 大专栏   欧拉项目 323题="line">} public static string GetAnswer() { List<Probability> probabilities = new List<Probability>(); probabilities.Add( new Probability( 0, 1)); BigInteger twoPow32 = BigInteger.Pow( 2, 32); for ( int i = 1; ; i++) { BigInteger baseDenominator = BigInteger.Pow( 2, i); BigInteger baseNumerator = baseDenominator - 1; BigInteger lastBaseDenominator = BigInteger.Pow( 2, i - 1); BigInteger lastBaseNumerator = lastBaseDenominator - 1; BigInteger denominator = BigInteger.Pow(baseDenominator, 32); BigInteger numerator = BigInteger.Pow(baseNumerator, 32); BigInteger lastNumerator = BigInteger.Pow(lastBaseNumerator, 32); probabilities.Add( new Probability( numerator - lastNumerator * twoPow32, denominator)); if (probabilities[i].Denominator / probabilities[i].Numerator / i > BigInteger.Pow( 10, 12)) { break; } } BigInteger ansDenominator = probabilities.Last().Denominator; BigInteger ansNumerator = 0; for ( int i = 1; i < probabilities.Count; i++) { Probability current = probabilities[i]; BigInteger times = ansDenominator / current.Denominator; ansNumerator += times * current.Numerator * i; } BigInteger times11 = ansNumerator * 100000000000 / ansDenominator; double answer = ( double)times11 / 100000000000; return answer.ToString( "N10"); }