上一篇伪距与载波相位 中我们介绍了伪距的计算方法，也得到了包含
(
x
,
y
,
z
,
δ
t
)
(x,\ y,\ z,\ \delta_t)
( x , y , z , δ t )
(
x
−
x
s
)
2
+
(
y
−
y
s
)
2
+
(
z
−
z
s
)
2
+
c
⋅
δ
t
=
ρ
+
c
⋅
δ
t
,
s
−
c
I
−
c
T
−
c
ϵ
\sqrt{(x-x_{s})^2 + (y-y_{s})^2 + (z-z_{s})^2} + c\cdot\delta_t = \rho + c\cdot\delta_{t,s} - cI - cT -c\epsilon
( x − x s ) 2 + ( y − y s ) 2 + ( z − z s ) 2
+ c ⋅ δ t = ρ + c ⋅ δ t , s − c I − c T − c ϵ
这个方程中的
I
I
I
T
T
T
δ
t
,
s
\delta_{t,s}
δ t , s
ϵ
\epsilon
ϵ
根据我们第一篇GPS基础原理 讲过GPS的基本原理，只需已知四颗卫星的测量值，即可组成一个四元方程组，然后解出来这四个未知数。要注意的是这个方程组是一个非线性方程组，因此在实际解算过程中，常用牛顿迭代法来进行。
牛顿迭代法是一个常用的解非线性方程组的方法，它将非线性方程组在一个估计解的附近进行线性化，然后求解线性化后的方程组，接着再更新解的估计值。如此反复迭代，直到解的精度满足要求为止。
根据牛顿迭代法，将四元方程组在第k次迭代的估计解
[
x
k
y
k
z
k
δ
t
,
k
]
T
[x_k \ \ y_k \ \ z_k\ \ \delta_{t,k}]^T
[ x k y k z k δ t , k ] T
G
[
Δ
x
Δ
y
Δ
z
c
⋅
Δ
δ
t
]
=
b
\boldsymbol{G} \left[ \begin{array}{c} \Delta x\\ \Delta y\\ \Delta z\\ c\cdot\Delta \delta_{t} \end{array} \right] = \boldsymbol{b}
G ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ Δ x Δ y Δ z c ⋅ Δ δ t ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = b
G
=
[
x
k
−
x
s
,
1
(
x
k
−
x
s
,
1
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
1
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
1
)
2
y
k
−
y
s
,
1
(
x
k
−
x
s
,
1
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
1
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
1
)
2
z
k
−
z
s
,
1
(
x
k
−
x
s
,
1
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
1
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
1
)
2
1
x
k
−
x
s
,
2
(
x
k
−
x
s
,
2
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
2
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
2
)
2
y
k
−
y
s
,
2
(
x
k
−
x
s
,
2
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
2
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
2
)
2
z
k
−
z
s
,
2
(
x
k
−
x
s
,
2
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
2
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
2
)
2
1
x
k
−
x
s
,
3
(
x
k
−
x
s
,
3
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
3
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
3
)
2
y
k
−
y
s
,
3
(
x
k
−
x
s
,
3
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
3
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
3
)
2
z
k
−
z
s
,
3
(
x
k
−
x
s
,
3
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
3
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
3
)
2
1
x
k
−
x
s
,
4
(
x
k
−
x
s
,
4
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
4
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
4
)
2
y
k
−
y
s
,
4
(
x
k
−
x
s
,
4
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
4
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
4
)
2
z
k
−
z
s
,
4
(
x
k
−
x
s
,
4
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
4
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
4
)
2
1
]
\boldsymbol{G} = \left[ \begin{array}{cccc} \frac{x_k-x_{s,1}}{\sqrt{(x_k-x_{s,1})^2 + (y_k-y_{s,1})^2 + (z_k-z_{s,1})^2}} & \frac{y_k-y_{s,1}}{\sqrt{(x_k-x_{s,1})^2 + (y_k-y_{s,1})^2 + (z_k-z_{s,1})^2}} & \frac{z_k-z_{s,1}}{\sqrt{(x_k-x_{s,1})^2 + (y_k-y_{s,1})^2 + (z_k-z_{s,1})^2}} & 1\\ \frac{x_k-x_{s,2}}{\sqrt{(x_k-x_{s,2})^2 + (y_k-y_{s,2})^2 + (z_k-z_{s,2})^2}} & \frac{y_k-y_{s,2}}{\sqrt{(x_k-x_{s,2})^2 + (y_k-y_{s,2})^2 + (z_k-z_{s,2})^2}} & \frac{z_k-z_{s,2}}{\sqrt{(x_k-x_{s,2})^2 + (y_k-y_{s,2})^2 + (z_k-z_{s,2})^2}} & 1\\ \frac{x_k-x_{s,3}}{\sqrt{(x_k-x_{s,3})^2 + (y_k-y_{s,3})^2 + (z_k-z_{s,3})^2}} & \frac{y_k-y_{s,3}}{\sqrt{(x_k-x_{s,3})^2 + (y_k-y_{s,3})^2 + (z_k-z_{s,3})^2}} & \frac{z_k-z_{s,3}}{\sqrt{(x_k-x_{s,3})^2 + (y_k-y_{s,3})^2 + (z_k-z_{s,3})^2}} & 1\\ \frac{x_k-x_{s,4}}{\sqrt{(x_k-x_{s,4})^2 + (y_k-y_{s,4})^2 + (z_k-z_{s,4})^2}} & \frac{y_k-y_{s,4}}{\sqrt{(x_k-x_{s,4})^2 + (y_k-y_{s,4})^2 + (z_k-z_{s,4})^2}} & \frac{z_k-z_{s,4}}{\sqrt{(x_k-x_{s,4})^2 + (y_k-y_{s,4})^2 + (z_k-z_{s,4})^2}} & 1 \end{array} \right]
G = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ( x k − x s , 1 ) 2 + ( y k − y s , 1 ) 2 + ( z k − z s , 1 ) 2
x k − x s , 1 ( x k − x s , 2 ) 2 + ( y k − y s , 2 ) 2 + ( z k − z s , 2 ) 2
x k − x s , 2 ( x k − x s , 3 ) 2 + ( y k − y s , 3 ) 2 + ( z k − z s , 3 ) 2
x k − x s , 3 ( x k − x s , 4 ) 2 + ( y k − y s , 4 ) 2 + ( z k − z s , 4 ) 2
x k − x s , 4 ( x k − x s , 1 ) 2 + ( y k − y s , 1 ) 2 + ( z k − z s , 1 ) 2
y k − y s , 1 ( x k − x s , 2 ) 2 + ( y k − y s , 2 ) 2 + ( z k − z s , 2 ) 2
y k − y s , 2 ( x k − x s , 3 ) 2 + ( y k − y s , 3 ) 2 + ( z k − z s , 3 ) 2
y k − y s , 3 ( x k − x s , 4 ) 2 + ( y k − y s , 4 ) 2 + ( z k − z s , 4 ) 2
y k − y s , 4 ( x k − x s , 1 ) 2 + ( y k − y s , 1 ) 2 + ( z k − z s , 1 ) 2
z k − z s , 1 ( x k − x s , 2 ) 2 + ( y k − y s , 2 ) 2 + ( z k − z s , 2 ) 2
z k − z s , 2 ( x k − x s , 3 ) 2 + ( y k − y s , 3 ) 2 + ( z k − z s , 3 ) 2
z k − z s , 3 ( x k − x s , 4 ) 2 + ( y k − y s , 4 ) 2 + ( z k − z s , 4 ) 2
z k − z s , 4 1 1 1 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
b
=
[
ρ
1
+
c
⋅
δ
t
,
s
,
1
−
c
I
1
−
c
T
1
−
(
x
k
−
x
s
,
1
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
1
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
1
)
2
−
c
⋅
δ
t
,
k
ρ
2
+
c
⋅
δ
t
,
s
,
2
−
c
I
2
−
c
T
2
−
(
x
k
−
x
s
,
2
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
2
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
2
)
2
−
c
⋅
δ
t
,
k
ρ
3
+
c
⋅
δ
t
,
s
,
3
−
c
I
3
−
c
T
3
−
(
x
k
−
x
s
,
3
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
3
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
3
)
2
−
c
⋅
δ
t
,
k
ρ
4
+
c
⋅
δ
t
,
s
,
4
−
c
I
4
−
c
T
4
−
(
x
k
−
x
s
,
4
)
2
+
(
y
k
−
y
s
,
4
)
2
+
(
z
k
−
z
s
,
4
)
2
−
c
⋅
δ
t
,
k
]
\boldsymbol{b} = \left[ \begin{array}{cccc} \rho_1 + c\cdot\delta_{t,s,1} - cI_1 - cT_1 -\sqrt{(x_k-x_{s,1})^2 + (y_k-y_{s,1})^2 + (z_k-z_{s,1})^2} - c\cdot\delta_{t,k} \\ \rho_2 + c\cdot\delta_{t,s,2} - cI_2 - cT_2 -\sqrt{(x_k-x_{s,2})^2 + (y_k-y_{s,2})^2 + (z_k-z_{s,2})^2} - c\cdot\delta_{t,k} \\ \rho_3 + c\cdot\delta_{t,s,3} - cI_3 - cT_3 -\sqrt{(x_k-x_{s,3})^2 + (y_k-y_{s,3})^2 + (z_k-z_{s,3})^2} - c\cdot\delta_{t,k} \\ \rho_4 + c\cdot\delta_{t,s,4} - cI_4 - cT_4 -\sqrt{(x_k-x_{s,4})^2 + (y_k-y_{s,4})^2 + (z_k-z_{s,4})^2} - c\cdot\delta_{t,k} \end{array} \right]
b = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ρ 1 + c ⋅ δ t , s , 1 − c I 1 − c T 1 − ( x k − x s , 1 ) 2 + ( y k − y s , 1 ) 2 + ( z k − z s , 1 ) 2
− c ⋅ δ t , k ρ 2 + c ⋅ δ t , s , 2 − c I 2 − c T 2 − ( x k − x s , 2 ) 2 + ( y k − y s , 2 ) 2 + ( z k − z s , 2 ) 2
− c ⋅ δ t , k ρ 3 + c ⋅ δ t , s , 3 − c I 3 − c T 3 − ( x k − x s , 3 ) 2 + ( y k − y s , 3 ) 2 + ( z k − z s , 3 ) 2
− c ⋅ δ t , k ρ 4 + c ⋅ δ t , s , 4 − c I 4 − c T 4 − ( x k − x s , 4 ) 2 + ( y k − y s , 4 ) 2 + ( z k − z s , 4 ) 2
− c ⋅ δ t , k ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
G
\boldsymbol{G}
G
s
s
s
e
s
,
k
=
[
e
s
,
k
,
x
,
e
s
,
k
,
y
,
e
s
,
k
,
z
]
T
\boldsymbol{e}_{s,k}=[e_{s,k,x},\ e_{s,k,y},\ e_{s,k,z}]^T
e s , k = [ e s , k , x , e s , k , y , e s , k , z ] T
G
\boldsymbol{G}
G
G
=
[
−
e
1
,
k
,
x
−
e
1
,
k
,
y
−
e
1
,
k
,
z
1
−
e
2
,
k
,
x
−
e
2
,
k
,
y
−
e
2
,
k
,
z
1
−
e
3
,
k
,
x
−
e
3
,
k
,
y
−
e
3
,
k
,
z
1
−
e
4
,
k
,
x
−
e
4
,
k
,
y
−
e
4
,
k
,
z
1
]
=
[
−
e
1
,
k
1
−
e
2
,
k
1
−
e
3
,
k
1
−
e
4
,
k
1
]
\boldsymbol{G} = \left[ \begin{array}{cccc} -e_{1,k,x} & -e_{1,k,y} & -e_{1,k,z} & 1\\ -e_{2,k,x} & -e_{2,k,y} & -e_{2,k,z} & 1\\ -e_{3,k,x} & -e_{3,k,y} & -e_{3,k,z} & 1\\ -e_{4,k,x} & -e_{4,k,y} & -e_{4,k,z} & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} -\boldsymbol{e}_{1,k} & 1\\ -\boldsymbol{e}_{2,k} & 1\\ -\boldsymbol{e}_{3,k} & 1\\ -\boldsymbol{e}_{4,k} & 1 \end{array} \right]
G = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ − e 1 , k , x − e 2 , k , x − e 3 , k , x − e 4 , k , x − e 1 , k , y − e 2 , k , y − e 3 , k , y − e 4 , k , y − e 1 , k , z − e 2 , k , z − e 3 , k , z − e 4 , k , z 1 1 1 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ − e 1 , k − e 2 , k − e 3 , k − e 4 , k 1 1 1 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
G
\boldsymbol{G}
G
G
\boldsymbol{G}
G
G
\boldsymbol{G}
G
而一般把
b
\boldsymbol{b}
b
得到线性化的方程组之后，我们就可以用最小二乘法将方程组解出来，得到
[
Δ
x
Δ
y
Δ
z
c
⋅
Δ
δ
t
]
=
(
G
T
G
)
−
1
G
T
b
\left[ \begin{array}{c} \Delta x\\ \Delta y\\ \Delta z\\ c\cdot\Delta \delta_{t} \end{array} \right] = (\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{b}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ Δ x Δ y Δ z c ⋅ Δ δ t ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ( G T G ) − 1 G T b
[
x
k
+
1
y
k
+
1
z
k
+
1
δ
t
,
k
+
1
]
=
[
x
k
+
Δ
x
y
k
+
Δ
y
z
k
+
Δ
z
δ
t
,
k
+
Δ
δ
t
]
\left[ \begin{array}{c} x_{k+1}\\ y_{k+1}\\ z_{k+1}\\ \delta_{t,k+1} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x_{k} + \Delta x\\ y_{k} + \Delta y\\ z_{k} + \Delta z\\ \delta_{t,k} + \Delta \delta_{t} \end{array} \right]
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x k + 1 y k + 1 z k + 1 δ t , k + 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x k + Δ x y k + Δ y z k + Δ z δ t , k + Δ δ t ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
[
x
k
y
k
z
k
δ
t
,
k
]
T
[x_k \ \ y_k \ \ z_k\ \ \delta_{t,k}]^T
[ x k y k z k δ t , k ] T
在使用牛顿迭代法解算位置的过程中，需要注意几点：
是否收敛。解的估计值有可能在一个值附近来回振荡，这是无法得到更高精度的解。
是否收敛到地球附近位置。解有可能收敛到远离地球的一端，这时需要重新给初始值，重新进行迭代解算。
严格来讲，每次迭代位置更新后，大气延时等误差需要重新估算，为了减小计算量，在连续定位时可以认为此误差在迭代中保持不变。
若可观测卫星多于4颗，可以对雅可比矩阵
G
\boldsymbol{G}
G
若可观测卫星少于4颗，可以利用各种假设来增加辅助方程，以解出需要的未知数。如限定高度变化量、限定运动方向、限定接收机钟差变化量等，当然此处需要注意限定的有效期。
下面我们把误差也考虑进去，假定测量误差和定位误差都很小，于是线性化后方程组为：
G
[
Δ
x
+
ϵ
x
Δ
y
+
ϵ
y
Δ
z
+
ϵ
z
c
⋅
(
Δ
δ
t
+
ϵ
δ
t
)
]
=
b
+
ϵ
ρ
\boldsymbol{G} \left[ \begin{array}{c} \Delta x + \epsilon_x\\ \Delta y + \epsilon_y\\ \Delta z + \epsilon_z\\ c\cdot(\Delta \delta_{t} + \epsilon_{\delta_{t}}) \end{array} \right] = \boldsymbol{b + \epsilon_\rho}
G ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ Δ x + ϵ x Δ y + ϵ y Δ z + ϵ z c ⋅ ( Δ δ t + ϵ δ t ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = b + ϵ ρ
ϵ
ρ
=
[
ϵ
ρ
,
1
ϵ
ρ
,
2
ϵ
ρ
,
3
ϵ
ρ
,
4
]
\boldsymbol{\epsilon_\rho} = \left[ \begin{array}{c} \epsilon_{\rho,1}\\ \epsilon_{\rho,2}\\ \epsilon_{\rho,3}\\ \epsilon_{\rho,4} \end{array} \right]
ϵ ρ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ϵ ρ , 1 ϵ ρ , 2 ϵ ρ , 3 ϵ ρ , 4 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
ϵ
x
,
ϵ
y
,
ϵ
z
\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z
ϵ x , ϵ y , ϵ z
ϵ
δ
t
\epsilon_{\delta_t}
ϵ δ t
ϵ
ρ
\boldsymbol{\epsilon_\rho}
ϵ ρ
解这个方程可以得到
[
ϵ
x
ϵ
y
ϵ
z
ϵ
δ
t
]
=
(
G
T
G
)
−
1
G
T
ϵ
ρ
\left[ \begin{array}{c} \epsilon_x\\ \epsilon_y\\ \epsilon_z\\ \epsilon_{\delta_{t}} \end{array} \right] = (\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{\epsilon_\rho}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ϵ x ϵ y ϵ z ϵ δ t ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ( G T G ) − 1 G T ϵ ρ
E
[
ϵ
ρ
]
=
0
E[\epsilon_\rho] = 0
E [ ϵ ρ ] = 0
V
[
ϵ
ρ
]
=
σ
U
R
E
2
V[\epsilon_\rho] = \sigma_{URE}^2
V [ ϵ ρ ] = σ U R E 2
C
o
v
(
[
ϵ
x
ϵ
y
ϵ
z
ϵ
δ
t
]
)
=
(
G
T
G
)
−
1
σ
U
R
E
2
=
H
σ
U
R
E
2
Cov\left(\left[ \begin{array}{c} \epsilon_x\\ \epsilon_y\\ \epsilon_z\\ \epsilon_{\delta_{t}} \end{array} \right]\right) = (\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}\sigma_{URE}^2 = \boldsymbol{H}\sigma_{URE}^2
C o v ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ϵ x ϵ y ϵ z ϵ δ t ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = ( G T G ) − 1 σ U R E 2 = H σ U R E 2
H
=
(
G
T
G
)
−
1
\boldsymbol{H} = (\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}
H = ( G T G ) − 1
由定位误差协方差阵可以看出，GPS定位误差的方差是测量误差的方差被权系数阵放大的结果，而权系数阵只与卫星的几何分布有关，故GPS的定位误差取决于测量误差和卫星几何分布两个因素。
有了权系数阵，我们就可以计算精度因子了。精度因子用于表示各个方向和时钟的误差放大倍数。假设在站心坐标系（坐标系可参见前文GPS坐标系 ）下表示的权系数阵为：
H
=
[
h
11
h
22
h
33
h
44
]
\boldsymbol{H} = \left[ \begin{array}{cccc} h_{11} & & & \\ & h_{22} & & \\ & & h_{33} & \\ & & & h_{44} \end{array} \right]
H = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ h 1 1 h 2 2 h 3 3 h 4 4 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
H
D
O
P
=
h
11
2
+
h
22
2
V
D
O
P
=
h
33
2
P
D
O
P
=
h
11
2
+
h
22
2
+
h
33
2
T
D
O
P
=
h
44
2
G
D
O
P
=
h
11
2
+
h
22
2
+
h
33
2
+
h
44
2
\begin{array}{c} HDOP = \sqrt{h_{11}^2 + h_{22}^2} \\ VDOP = \sqrt{h_{33}^2} \\ PDOP = \sqrt{h_{11}^2 + h_{22}^2 + h_{33}^2} \\ TDOP = \sqrt{h_{44}^2} \\ GDOP = \sqrt{h_{11}^2 + h_{22}^2 + h_{33}^2 + h_{44}^2} \end{array}
H D O P = h 1 1 2 + h 2 2 2
V D O P = h 3 3 2
P D O P = h 1 1 2 + h 2 2 2 + h 3 3 2
T D O P = h 4 4 2
G D O P = h 1 1 2 + h 2 2 2 + h 3 3 2 + h 4 4 2
精度因子只与卫星的几何分布有关，有一个简单的方法可以大致判断GDOP的大小：以接收机所在位置为锥顶、以各个卫星所在位置为顶点组成一个锥形体，这个锥形体体积越大，相应的GDOP就越小。
