动态规划从入门到放弃【2】
本文将利用“最大子序列和”问题来对比动态规划和其它算法之间的在实现上的区别。
最大子序列和问题
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例:
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
进阶:
如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。
1.1 贪心算法
最通俗易懂的解释：
假设你是一个选择性遗忘的赌徒，数组表示你这几天来赢钱或者输钱，
你用sum来表示这几天来的输赢，
用ans来存储你手里赢到的最多的钱，
如果昨天你手上还是输钱（sum < 0），你忘记它，希望什么都没发生，明天继续赌钱；
如果你手上是赢钱(sum > 0), 你记得，你继续赌钱；
你记得你手气最好的时候
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
#当前元素及之前的子数组的和
sum_pre=0
#最大子序列的和
maxSubSum=nums[0]
#遍历
for i in range(len(nums)):
#判断当前元素及之前的子数组的和
if sum_pre<0:
sum_pre=nums[i]
else:
sum_pre+=nums[i]
#选择当前最大的子序列和
maxSubSum = sum_pre if sum_pre > maxSubSum else maxSubSum
return maxSubSum
1.2 动态规划
“动态规划”的两个步骤是思考“状态”以及“状态转移方程”。
有的资料又将“动态规划”分为 3 步：
base case：思考问题规模最小的时候，是什么情况；
update function：自下而上思考这个问题，即上面的“状态转移方程”；
gola：重点强调了输出是什么，很多时候输出并不一定是最后一个状态。
(1) 状态
题目中的关键字是“连续”，首先我们尝试就将状态定义成题目要求的结果。
dp[i] 表示 nums 在区间 [0, i]中连续子数组的最大和。
在思考“状态转移方程”的时候，
dp[i]之前的，例如dp[i - 1]就有可能是是更前面的连续子数组的最大和，不利于我们分类讨论。
根据「力扣」第 300 题：“最长上升子序列”的经验，既然一个连续子数组一定要以一个数作为结尾，那么我们就将状态定义成：
dp[i]：表示以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和。
输出应该是把所有的 dp[0]、dp[1]、……、dp[n - 1] 都看一遍，取最大值。 同样的情况也适用于「力扣」第 300 题：“最长上升子序列”。
(2)状态转移方程
接下来分类讨论就变得容易多了，dp[i] 的值要看 dp[i - 1]，因为 nums[i] 一定被选取，那么 dp[i - 1] 的正负就作为分类的标准。
- 如果
dp[i - 1] >= 0，那么可以把nums[i]直接接在dp[i - 1]表示的那个数组的后面。 - 如果
dp[i - 1] < 0，那么加上前面的数反而我越来越小了，干脆“另起炉灶”吧，单独的一个nums[i]，就是dp[i]。
以上两种情况的最大值就是 dp[i] 的值，写出“状态转移方程 1”：
或者你还可以这样写，反正求的是最大值，我也不用分类讨论了，就这两种情况，直接取最大即可，因此还可以写出“状态转移方程 2”：
参考代码 1：根据“状态转移方程 1”
def dp01(nums):
length=len(nums)
if length==0:
return 0
dp=[0 for _ in range(length)]
for i in range(1,length):
if dp[i-1]<0:
dp[i]=nums[i]
else:
dp[i]=dp[i-1]+nums[i]
return max(dp)
参考代码 2：根据“状态转移方程 2”
def dp02(nums):
length=len(nums)
if length==0:
return 0
dp=[0 for _ in range(length)]
dp[0] = nums[0]
for i in range(1,length):
dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])
return max(dp)
复杂度分析：
- 时间复杂度：O(N)。
- 空间复杂度：O(N)。
既然当前状态只与上一个状态有关，我们可以将空间复杂度压缩到 O(1)。
参考代码 3：将空间复杂度压缩到 O(1)。
def dp03(nums):
length=len(nums)
if length==0:
return 0
# 起名叫 pre 表示的意思是“上一个状态”的值
pre = nums[0]
res = pre
for i in range(1, length):
pre = max(nums[i], pre + nums[i])
res = max(res, pre)
return res
复杂度分析：
- 时间复杂度：O(N)。
- 空间复杂度：O(1)。
1. 3 分治法
分治法的思想其实就是认为某一序列的最大子序和要么在左半边，要么在右半边，要么是穿过中间，对于左右边的序列，情况也是一样，因此可以用递归处理。中间部分的则可以直接计算出来，时间复杂度应该是 O(nlogn)。
所以共分为3个子问题：
- Between [low, mid]：位于low和mid之间。
- Between [mid+1, high]：位于min和high之间。
- 穿过中间元素mid，包含了2部分，分别是Between [i, mid]和Between [mid+1, j]。
注意: mid 和 mid+1 所对应的元素必须被包含。
代码如下：
def dc(nums):
low=0
high=len(nums)-1
res=maxSub(nums,low,high)
return res
def maxSub(nums,low,high):
if low==high:
return nums[low]
else:
mid=int((low+high)/2)
maxleftSub = maxSub(nums, low, mid)
maxrightSub = maxSub(nums, mid + 1, high)
maxCrossSub = maxCrossingSubArray(nums, low, high)
return max(maxleftSub, maxrightSub, maxCrossSub)
def maxCrossingSubArray(nums, low, high):
# Calculate max_left in [i,mid]
mid = int((low + high) / 2)
left_sum = float('-Inf')# Make sure sums[mid] is included
sum = 0
for i in range(mid, low - 1, -1):
sum = sum + nums[i]
if sum > left_sum:
left_sum = sum
# max_left = i , i is the index
# Calculate max_right in [mid+1,j]
sum = 0
right_sum = float("-Inf")# Make sure sums[mid+1] is included
for j in range(mid + 1, high + 1):
sum = sum + nums[j]
if sum > right_sum:
right_sum = sum
# max_right = j, j is the index
return left_sum + right_sum
print(dc(lists))
小结
本文章中对比了动态规划算法、贪心算法和分治法的之间在代码实现上的不同，在动态规划中注重“状态”和“状态转移”在解决问题中的应用，为了保存产生的中间状态，可能需要使用数组来开辟空间保存，但转化为迭代的过程后，空间复杂度也是可以优化为O(1)。
参考链接：
https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/solution/jia-she-ni-shi-yi-ge-du-tu-by-acnesu/
https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/solution/dong-tai-gui-hua-fen-zhi-fa-python-dai-ma-java-dai/
https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/solution/bao-li-qiu-jie-by-pandawakaka/
