Supervised Descent Method(人脸对齐之SDM论文解析）

Supervised Descent Method(人脸对齐之SDM论文解析）

标签： SDM NLS Jacobian Hessian FaceAlignment

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作者：贾金让
本人博客链接:http://blog.csdn.net/jiajinrang93

1.概述

文章名称：Supervised Descent Method and its Applications to Face Alignment
文章来源：2013CVPR
文章作者：Xuehan Xiong，Fernando De la Torre
简要介绍：这篇文章主要提出了一种名为SDM（Supervised Descent Method）的方法，用来最小化非线性最小二乘（Non-linear Least Squares）目标函数，即目标函数是均方误差。SDM方法通过学习得到一系列下降的方向和该方向上的尺度，使得目标函数以非常快的速度收敛到最小值，回避了求解Jacobian矩阵和Hessian矩阵的问题。下面开始详细介绍，我补充了文章中只给出结果的推导过程，并且稍微调整了一下文章中牛顿步的推导过程。

2.从牛顿步说起

数值优化在很多领域都有很重要的应用，计算机视觉中很多重要的问题比如（行人跟踪、人脸对齐等）都可以化成非线性优化问题来解决。解决非线性优化的方法有很多，其中非常常用的有基于一阶的或者是二阶的优化方法，比如梯度下降方法、牛顿步、LM算法等等。尽管很多年过去了，在二阶导可求得情况下，牛顿步仍然被认为是一个非常优秀的算法。

那么什么是牛顿步方法呢？下面简单介绍一下牛顿步，后面还会详细推导牛顿步。

牛顿步：在Hessian矩阵正定的情况下，极小值可以通过求解线性方程组来迭代求解。给定一个初始的估计值$x_0\in\Re^{p\times1}$，牛顿步的更新迭代公式如下：

$$x_{k+1}=x_k-H^{-1}(x_k)J_f(x_k)\tag{1}$$
其中 $H^{-1}(x_k)\in\Re^{p\times p}$是在 $x_k$点的Hessian矩阵, $J_f(x_k)\in\Re^{p\times1}$是 在 $x_k$点的 Jacobian矩阵。
牛顿步方法有 两个主要优点：
1. 如果牛顿步可以收敛，那么它的收敛速度是二次的，收敛速度非常快。
2. 如果初始点在最小点邻域附近，那么它一定可以收敛。
但牛顿法在应用中，也有 几个缺点：
1. Hessian矩阵在极小值附近是局部正定的，但可能不是全局正定的，这就会导致牛顿步并不一定朝向下降的方向。
2. 牛顿步需要函数二次可导。这个要求在实际应用中是一个很强的要求，比如图像处理中经常被使用的SIFT特征，它可以被看成是一个不可导的特征，因此在这种情况下，在我们只能通过数值逼近下降的方向或者是Hessian矩阵，但这种计算代价非常大。
3. 由于Hessian矩阵通常很大，计算它的逆矩阵代价是非常大的，复杂度通常是 $O(p^3)$。
以上三个缺陷使我们在实际应用中，很难计算精确的Hessian矩阵，甚至连数值逼近都是很困难的（由于计算代价比较大）。因此，该文章提出了SDM方法，用数据来学习下降的方向。下面两张图可以用来初步表示牛顿步和SDM两种方法的基本原理。

3.人脸对齐的几个概念（简单介绍）

在介绍SDM之前，还要先简单提一下人脸识别中人脸对齐的基本原理和相关的关键词，因为该SDM方法主要是在人脸对齐方面进行应用。
人脸对齐（Face Alignment）基本原理：
基本概念：人脸识别（face recognizaton）按顺序可以大体上分为四个部分，即人脸检测（face detection),人脸对齐（face alignment），人脸校验（face verification）和人脸识别（face identification）。 人脸检测就是在一张图片中找到人脸所处的位置，即将人脸圈出来，比如拍照时数码相机自动画出人脸。人脸对齐就是在已经检测到的人脸的基础上，自动找到人脸上的眼睛鼻子嘴和脸轮廓等标志性特征位置。人脸校验就是判断两张脸是不是同一个人。人脸识别就是给定一张脸，判断这张脸是谁。
本文研究其中的第二部分，人脸对齐。
人脸对齐中的几个关键词：
形状（shape）：形状就是人脸上的有特征的位置，如下图所示，每张图中所有黄点构成的图形就是该人脸的形状。
特征点（landmark）：形状由特征点组成，图中的每一个黄点就是一个特征点。

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人脸对齐的最终目的就是在已知的人脸方框（一般由人脸检测确定人脸的位置）上定位其准确地形状。
人脸对齐的算法主要分为两大类：基于优化的方法（Optimization-based method）和基于回归的方法（Regression-based method）。
SDM方法属于基于回归的方法。
基于回归的方法的基本原理：对于一张给定的人脸，给出一个初始的形状，通过不断地迭代，将初始形状回归到接近甚至等于真实形状的位置。

4.Supervised Descent Method

给定一张含有m个像素的图片$d\in\Re^{m\times1}$,$d(x)\in\Re^{p\times1}$表示该图片上的p个特征点，$h()$表示一个非线性特征提取函数，比如$h(d(x))\in\Re^{128p\times1}$可以表示从p个特征点上提取出的SIFT特征，每个特征点提取出了128个SIFT特征。那么我们的目标就是，在给定一个初始形状$x_0$的基础上，通过回归的方法，将$x_0$回归到该人脸正确的形状$x_*$上，用数学的方式表达，即为求得使下面的$f(x_0+\Delta x)$最小的$\Delta x$。

$$f(x_0+\Delta x)=||h(d(x_0+\Delta x))-\phi_*||_2^2\tag{2}$$
其中 $\phi_*=h(d(x_*))$表示该人脸的真实特征点所提取出的SIFT特征，当然，上面说的是在预测时我们的目标，在预测时我们只有初始的 $x_0$,而 $\Delta x$和 $\phi_*$我们是不知道的。在训练时，我们是知道 $\Delta x$和 $\phi_*$的，我们要在训练时训练得到一个良好的回归器，使它能够让初始的 $x_0$一步步回归到正确的未知的形状上去。一般来说初始的 $x_0$就是所有已知样本的真实形状的平均形状。示意图如下图所示。

那么问题来了，如果每一张脸的初始形状都是一样的（即都是已知样本的真实形状的平均形状），那么怎么让它们回归到各自人脸的真实形状呢，答案就是每张图片提取出的不同的SIFT特征（具体采用什么特征可以依据情况而定，论文中 采用了SIFT特征，但也可以采用如HOG，DOG，甚至LBF等特征）了，虽然采用了相同的初始形状，但在不同的图片上，相同的初始形状所提取出的SIFT特征是完全不同的，也就是$\phi_0$是不同的，这样就可以通过回归器将其回归到各自的真实形状上了。这一点通过上面的公式也能看出。

现在我们已经有了优化的目标，就是要得到一个回归器，这个回归器能起到的作用是将一个初始形状回归到真实形状上去。也就是学到正确的回归器使其得到最好的$\Delta x$ 。当然想要从初始形状一步步回归到真实形状，只学习一个$\Delta x$一般是不行的，因为一步就回归到最小点一般来说要求比较高，即使是牛顿步回归的比较快，通常也不能一步就达到目标。所以我们要学习得到多个不同的回归器，它们依次回归下来，能得到一系列的$\Delta x$,这样我们就能很快根据$x_{k+1}=x_k+\Delta x$得到使目标函数最小的点。

下面从牛顿步开始引出SDM。
首先再写一遍目标函数，如下：

$$f(x_0+\Delta x)=||h(d(x_0+\Delta x))-\phi_*||_2^2\tag{3}$$
我们使用的是从初始特征点周围提取的SIFT特征作为第一次回归的输入，然而SIFT算子是不可导的，所以如果想要使用一阶或者二阶方法来最小化上面的目标函数，那就只能用数值逼近的方法来估计Jacobian和Hessian矩阵（比如有限差分方法等）。然而数值估计计算量非常大，所以我们要采用SDM方法来学习下降的方向和下降的尺度，或者说学习Jaobian和Hessian矩阵。

为了从牛顿步开始引出SDM，我们首先假设$h()$这个SIFT特征提取函数是二次可导的。这样才能计算Hessian矩阵。

以下部分推导和论文不同，论文中只给了结论，我补充了论文没有写的推导过程。同时优化了一下牛顿步的推导过程。

第一步，我们首先获得一个初始的形状$x_0$,采用的方式是用所有训练样本的真实形状的平均形状给$x_0$赋值，也就是说我们迭代的初值为:
$x_0=\frac1N\sum_{i=1}^Nx_{*i}\tag{4}$
接着就可以根据公式（3）计算$f(x_0)$，即令$\Delta x=0$。

现在我们已经有了$f(x_0)$,我们想要知道朝什么样的方向改变$x_0$并且改变多少$x_0$可以得到一个好的$f(x_1)$，使$f(x_1)$尽量接近全局最小值，这里$f(x_1)$=$f(x_0+\Delta x)$。

我们在$x_0$点对$f(x)$进行二阶泰勒展开，如下：

$$f(x)=f(x_0)+J_f(x_0)^T(x-x_0)+\frac12(x-x_0)^TH(x_0)(x-x_0)+o(|x-x_0|^2)\tag{5}$$
等式最右边一项是高阶项，可以忽略。也就是说，我们要优化的目标，就是下面这个二次型，我们要极小化下面的二次型：
$$f(x)=f(x_0)+J_f(x_0)^T(x-x_0)+\frac12(x-x_0)^TH(x_0)(x-x_0)\tag{6}$$
因为要极小化 $f(x)$，所以我们要对 $x$进行求导，并且令导数等于0，以此来求出优化的方向和大小，下面对每一项进行求导：
$$\frac{d f(x)}{d x}=\nabla f(x)\tag{7}$$
$$\frac{d f(x_0)}{d x}=0\tag{8}$$
$$\frac{d J_f(x_0)^T(x-x_0)}{d x}=J_f(x_0)\tag{9}$$
$$\frac{d \frac12(x-x_0)^TH(x_0)(x-x_0)}{d x}=\frac12[H(x_0)+H(x_0)^T](x-x_0)=H(x_0)(x-x_0)\tag{10}$$
因此，求导后得到：
$$\nabla f(x)=0+J_f(x_0)+H(x_0)(x-x_0)\tag{11}$$
令导数等于0，得：
$$\nabla f(x)=J_f(x_0)+H(x_0)(x-x_0) = 0\tag{12}$$
可以解得：
$$x=x_0-H^{-1}(x_0)J_f(x_0)\tag{13}$$
即
$$x_1=x_0-H^{-1}(x_0)J_f(x_0)\tag{14}$$
这即得到牛顿步的表达式。
我们的第一次迭代的步长用牛顿步的方法求解就是：
$$\Delta x_1=-H^{-1}(x_0)J_f(x_0)\tag{15}$$
如果在目标函数二次可导的情况下，一直使用牛顿步计算出 $\Delta x_2$、 $\Delta x_3$、…、 $\Delta x_k$，那么可以根据更新表达式（如下）一直计算得到新的 $x$，直到得到最优解。
$$x_{k+1}=x_k+\Delta x_k\tag{16}$$
不过使用牛顿步计算几个 $\Delta x$就要算几次Jacobian和Hessian矩阵，计算量之大可想而知了，况且目标函数还不一定二次可导（之前的二次可导是我们假设的，现在我们将去掉二次可导这个约束条件）。

下面开始推导得到我们要的SDM的方法，是接着上面牛顿步的推导而来的：

首先引入矩阵的链式求导法则如下：

$$\frac{df(g(x))}{dx}=\frac{dg^T(x)}{dx}\frac{df(g)}{dg}\tag{17}$$
应用矩阵的链式求导法则：
$$J_f(x_0)=\frac{d f(x)}{d x}|_{x=x_0}=\frac{d||h(d(x))-\phi_*||^2_2}{dx}|_{x=x_0}=\frac{d(\phi_x-\phi_*)^T}{dx}|_{x=x_0}\cdot\frac{d||\phi_x-\phi_*||^2_2}{d(\phi_x-\phi_*)}|_{x=x_0}$$
$$\tag{18}$$
其中：
$$\frac{d(\phi_x-\phi_*)^T}{dx}|_{x=x_0}=\frac{d\phi_x^T}{dx}|_{x=x_0}=\frac{dh^T(d(x))}{dx}|_{x=x_0}=J_h^T(x_0)\tag{19}$$
$$\frac{d||\phi_x-\phi_*||_2^2}{d(\phi_x-\phi_*)}|_{x=x_0}=\frac{d[(\phi_x-\phi_*)^T(\phi_x-\phi_*)]}{d(\phi_x-\phi_*)}|_{x=x_0}=2(\phi_x-\phi_*)|_{x=x_0}=2(\phi_0-\phi_*)\tag{20}$$
所以：
$$J_f(x_0)=2J^T_h(x_0)(\phi_0-\phi_*)\tag{21}$$
因此
$$x=x_0-H^{-1}(x_0)J_f(x_0)=x_0-2H^{-1}(x_0)J^T_h(x_0)(\phi_0-\phi_*)\tag{22}$$
所以我们的SDM方法的 $\Delta x_1$为：
$$\Delta x_1=-2H^{-1}(x_0)J^T_h(x_0)(\phi_0-\phi_*)\tag{23}$$
看起来好像和牛顿步的 $\Delta x_1=-H^{-1}(x_0)J_f(x_0)$区别不大，然而接下来就会看到区别：
$$\Delta x_1=-2H^{-1}(x_0)J^T_h(x_0)(\phi_0-\phi_*)=\Delta x_1=-2H^{-1}(x_0)J^T_h(x_0)\phi_0-2H^{-1}(x_0)J^T_h(x_0)\phi_*$$
$$\tag{24}$$
设 $R_0=-2H^{-1}(x_0)J^T_h(x_0)$， $b_0=-2H^{-1}(x_0)J^T_h(x_0)\phi_*$,可将上式表示成:
$$\Delta x_1=R_0\phi_0+b_0\tag{25}$$
也就是说，第一次增量 $\Delta x_1$变成了特征 $\phi_0$的一次函数，而我们只需要知道 $R_0$和 $b_0$就可以直接算出第一次的增量 $\Delta x_1$！！！
也许有人会问，但是根据你前面的公式，你的 $R_0$和 $b_0$也是在计算Jacobian和Hessian矩阵的基础上计算出来的啊，说的没错，但既然现在已经将目标 $\Delta x_1$写成了 $\phi_0$的一次函数，我们计算的 $R_0$和 $b_0$难道还要绕回去算Jacobian和Hessian矩阵么，当然不可能了，我们只需要用我们最常用的方法， 最小二乘即可！！
即最小化下面这个目标函数：
$$loss=||\Delta x_1-R_0\phi_0-b_0||_2^2\tag{26}$$
此时可以由最小二乘的公式直接得到 $R_0$和 $b_0$，这里就不写了。
得到了 $R_0$和 $b_0$,也就可以依法得到 $R_1$、 $b_1$、…、 $R_k$和 $b_k$，也就可以算出对应的的 $\Delta x_2$、…、 $\Delta x_{k+1}$，这些 $\Delta x$就是我们要的每一次的 $x$的变化方向和变化的尺度，也是根据更新公式更新，直到得到最小点的 $x$。

有了$R_1$、$b_1$、…、$R_k$和$b_k$，在测试样本进行回归的时候，就可以直接进行回归。

下图是作者做的对比试验（控制的变量是特征提取函数$h()$不同）：
有图可见，SDM的收敛速度比牛顿步更快，只是收敛得最终结果并没有达到最优（比牛顿步差一点），但SDM更具鲁棒性，在函数的Hessian矩阵不是正定的时候，SDM也能很快收敛。

做个总结：
SDM方法在更新$x$时，就是将更新的增量$\Delta x$的计算方法进行了改变，由牛顿步的计算Jacobian和Hessian矩阵来得到增量$\Delta x$，变成了计算$R_k$和$b_k$来得到增量$\Delta x$,通过推导将每一次的增量$\Delta x$变成了该次输入的特征$\phi$的一次函数，并通过最小二乘直接计算一次函数的系数$R_k$和$b_k$，大大减少了计算量。