图像分割—基于边界的图像分割

边界对图像来说是至关重要的信息，人可以仅通过图像边缘、轮廓就能对图像整体产生较完整的认识，例如漫画、简笔画等待。基于边界的图像分割技术是基于灰度不连续性进行的分割方法，其基础就是边缘检测

边缘检测

利用梯度、差分、拉普拉斯算子及高通滤波等处理方法进行图像锐化，增强图像边缘，再进行一次阈值化处理，便可以将边缘增强的方法用于边缘检测

部分常用的边缘检测算子处理效果展示

1. 梯度算子 $\nabla f=\begin{bmatrix} G_x \\ G_y \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\partial F}{\partial x} \\ \\ \frac{\partial F}{\partial y} \\ \end{bmatrix}$
2. Roberts算子 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{bmatrix}$
3. Prewitt算子 $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \\ \end{bmatrix}$
4. Sobel算子 $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \\ \end{bmatrix}$

边缘连接

由于噪声的原因，边界的特征很少能够被完整地描述，在亮度不一致的地方会中断。典型的边缘检测算法后面总要跟随着连接过程和其他边界检测过程，用来规整边界像素，成为有意义的边界。

简单来说大概有两类方法：

1、局部处理法

1.1 基本原理：
对做过边缘检测的图像的每个点 $(x,y)$的特性在一个小的邻域中进行分析，所有相似的点被连接形成一个享有共同特性像素的边界。

所分析的特性一般是像素之间梯度算子的响应强度和梯度方向

• 通过比较梯度强度确定两个点之间的连接性：
  对于点 $(x',y')$，判断其是否与领域内的点 $(x,y)$相似，当 $|\nabla f(x,y)-\nabla f(x',y')|\leqslant T$时可以判定两个像素之间的梯度强度相近。
• 通过比较梯度方向确定两个点之间的连接性：
  对于点 $(x',y')$，判断其是否与领域内的点 $(x,y)$的方向角相似，当 $|\alpha(x,y)-\alpha(x',y')|\leqslant T$时可以判定两个像素之间的有相互连接的趋势。

若梯度强度和梯度方向都小于所设置的阈值，则可以说像素 $(x,y)$和 $(x',y')$是连接的

1.2 边缘跟踪：
将检测的边缘点连接成线，形成有意义的边界。

• 光栅跟踪
  采用电视光栅行扫描顺序，结合阈值检测，对遇到的像素进行分析从而确定是否为边缘的跟踪方法，具体步骤如下：
  (1) 选取一个较大的检测阈值 $d$，对图像第一行进行阈值化。大于 $d$的像素作为对象点，并作为下一步跟踪的起始点
  (2) 选取一个较小的跟踪阈值 $k$，例如灰度差阈值
  (3) 扫描下一行像素（像素 $(i,j)$的下一行像素 $(i+1,j-1)$、 $(i+1,j)$、 $(i+1,j+1)$为跟踪邻域），凡与上一行对象点相邻接的像素灰度差小于 $k$的且值最小的点接受为新对象点，反之去除
  (4) 对未被接受为对象点的其他各行像素再次从步骤(1)开始重复
  
• 全向跟踪
  全向跟踪是指跟踪方向可以是任意方向，并且有足够大的跟踪距离的跟踪方法。是一种改变了邻域定义和跟踪准则的光栅跟踪法，其跟踪步骤和原则与光栅跟踪法一致
  (1) 邻域：选取适当的、能进行全向跟踪的邻域，例如八邻域等
  (2) 跟踪准则：选择一个适当的跟踪准则，如灰度阈值、对比度和空间距离等

2、Hough变换

在找出边界点集之后，需要连接形成完整有意义的边界图像描述。在预先知道区域形状的条件下，利用Hough变换不仅可以方便地得到边界曲线将不连续的像素点连接起来，而且可以用数学公式来表达该直线，性能优异。

基本思想： 对于边界上 $n$个点的点集，找出其满足形状的点集和曲线方程

这里介绍一下利用Hough变换检测直线边界的例子：
已知任意两点的直线方程 $y=ax+b$有一个未知数平面 $xy$和一个参数平面 $ab$，且在未知数平面上任一条直线 $y=ax+b$都在参数平面上对应着一个点。

那么可得，过未知数平面一个点 $(x,y)$的所有直线，构成参数平面上的一条直线 $b=-ax+y$显然这是一条参数平面上的直线方程

若有两点 $(x_1,y_1)$、 $(x_2,y_2)$且这两点在未知数平面上共线，那么这两点在参数平面上的直线将会交于 $(a,b)$点 $\begin{cases} y_1=ax_1+b \\ y_2=ax_2+b \\ \end{cases} \to\begin{cases} b=-ax_1+y_1 \\ b=-ax_2+y_2 \\ \end{cases}$据此可以推断，在未知数平面上共线的点最终都会交于参数平面上的 $(a,b)$点，因此若在参数平面上有多条直线相交于某一个点，则该点的坐标 $(a,b)$可以作为未知数平面上直线方程的参数，这样就检测出了这条直线边界。

Hough变换检测直线算法

1. 在算法的实际使用过程中，为了避免出现无穷大，常用极坐标形式代替直角坐标形式。此时，参数平面就为 $\rho\theta平面$，而不是直角坐标下的 $ab$平面：
   $x\cos\theta+y\sin\theta=\rho$

2. 创建交点累加器或交点统计直方图，找出相交线最多的参数空间的点
3. 找出该点对应的未知数平面的直线线段，即检测完成

实例：

Hough变换的扩展

1. 检测圆
   将Hough变换应用到对圆的检测上时，其参数方程变换为 $(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=c_3^2$此时需要三个参数的参数空间
2. 检测椭圆
   参数方程设为 $\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$微分后有 $\frac{x-x_0}{a^2}+\frac{y-y_0}{b^2}·\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=0$微分后的方程只有三个独立参数，只需从 $(a,b,x_0,y_0)$中选择三个参数进行检测即可