洛谷 4828 Nagisa loves Tomoya 题解

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题意简述

给定一个序列 $a$，长度 $n<=1e6$，以及 $Q(<=1e4)$个询问。定义一次操作如下：对于每个 $i$，a[i]+=a[i%n+1]。一次询问给定两个正整数 $x(<=2000),y(<=n)$，请求出 $x$次操作后 $a[y]$的值。

思路框架

找规律，预处理， $O(qx+n)$稳过

具体思路

我们模拟几下（ $Excel$打表

如果我们合并同类项后只提取系数，然后我们就会发现：

第一行是 $1+1$
第二行是 $1+2+1$
第三行是 $1+3+3+1$
。。。（显然，这是个杨辉三角）

然后，系数后面的项，就是从这个位置往后循环的取。说人话（？），第 $i$行第 $j$个的式子中，第 $k$项去掉系数的部分是a[(j+k-1-1)%n+1]。

然后我们预处理好杨辉三角，每次暴力循环取即珂。复杂度是 $O(xq)$的。在加上读入的复杂度，就是 $O(n+qx)$。

（小声 $B$一句，读入的复杂度严格来说是 $O(nlogn)$的，因为每个数字的位数是 $log_{10} n$。但是由于很小，一般忽略）

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 1666666
    #define X 2333
    #define mod 998244353
    #define int long long 
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)

    int n,a[N];
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Input()
    {
        R1(n);
        F(i,1,n) R1(a[i]);
    }

    int C[X][X];
    void Init()//预处理杨辉三角
    {
        C[0][0]=1;
        F(i,1,2001) F(j,1,2001)
        {
            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
        }
    }
    void Soviet()
    {
        Init();
        int q;R1(q);
        F(i,1,q)
        {
            int x,y;
            R1(x),R1(y);++x;
            int ans=0;
            int pos=y;//用一个pos不断循环的取
            for(int j=1;C[x][j]!=0;++j)
            {
                (ans+=C[x][j]*a[pos]%mod)%=mod;
                pos=pos%n+1;
            }
            printf("%lld\n",ans%mod);
        }
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
    #undef int //long long 
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}