洛谷 1783 海滩防御 题解

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题意简述

平面直角坐标系上有 $m(<=800)$个点，每个点的 $x$坐标都在 $[1,n]$之内， $n<=1000$， $y$坐标 $<=1e5$。每个点珂以设一个半径为 $r$的攻击塔（攻击范围包含边界）。 $x$轴上 $[1,n]$的区域是敌人的进攻线，请你在每个位置都设置一些防御塔，使得敌人无法在 $y$坐标上无限增大（敌人珂以各种绕路），并且 $r$的最大值最小。

思路简述

抽象成图。边权为两个点之间的距离/2。设置起点S，S到一个点的距离为这个点的 $x$坐标。设置终点T，T到一个点的距离为n-这个点的 $x$坐标。从S到T跑最短路，路径的长度定义为路径上所有边权的最大值。

具体思路

如果我们的最大半径为 $r$，那么肯定每个点都要设置半径 $r$。反正半径又不花钱，那肯定往大里放啊。

然后对于一个点 $u,v$，设距离为 $d$。那么，两边都设置半径为 $d/2$就能覆盖 $u,v$之间的部分了。

当然，我们的目的是封锁 $y$轴。稍微转化一下，就是要从左到右完美的封锁出“一条”来。“一条”珂以是曲线，看起来还很粗，只要不空出来即珂。因为敌人走位随便走，你只要一点空出来，敌人钻过去，就珂以无限向 $y$轴延伸了。

所以，我们还要建立两个点，表示左边界和右边界。就是上面说的S和T。要说几何意义，就是S:直线x=0，T:直线x=n。然后S到一个点显然需要半径为这个点的x坐标值，才能封锁这个点到S的范围。T同理。

然后，对于我们从S到T，也就是从左到右，选择的一条链上，一个空位也不能有，也就是每个空都要完美的守住。所以这条链的长度就是最长边的值。

这样跑一遍最短路即珂。记得边权是实数，而不是整数。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define real double
    #define N 1333
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    class Graph
    {
        public:
            int head[N*N];
            int EdgeCount;
            struct Edge
            {
                int To;real Label;int Next;
            }Ed[N*N<<1];
            void clear(int _V=N,int _E=N<<1) 
            {
                memset(Ed,-1,sizeof(Edge)*(_E));
                memset(head,-1,sizeof(int)*(_V));
                EdgeCount=-1;
            }
            void AddEdge(int u,int v,real w=0.0)
            {
                Ed[++EdgeCount]=(Edge){v,w,head[u]};
                head[u]=EdgeCount;
            }
            void Add2(int u,int v,real w=1) {AddEdge(u,v,w);AddEdge(v,u,w);}
            int Start(int u) {return head[u];}
            int To(int u){return Ed[u].To;}
            real Label(int u){return Ed[u].Label;}
            int Next(int u){return Ed[u].Next;}
    }G;
    
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    int n,m;
    real x[N],y[N];
    void Input()
    {
        R1(n),R1(m);
        F(i,1,m) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
    }

        
    real d(int dx,int dy){return sqrt(dx*dx+dy*dy);}//求距离
    struct node{int v;real w;};bool operator<(node a,node b){return a.w>b.w;}
    bool vis[N];real dis[N];
    priority_queue<node> Q;
    void Dijkstra(int s)
    {
        F(i,1,m+2) dis[i]=1e18;
        Q.push((node){s,0.00});dis[s]=0.00;
        while(!Q.empty())
        {
            node Min=Q.top();Q.pop();
            int u=Min.v;
            if (vis[u]) continue;
            vis[u]=1;

            Tra(i,u)
            {int v=__v;
                if (dis[v]>max(dis[u],G.Label(i)))
                {
                    dis[v]=max(dis[u],G.Label(i));
                    Q.push((node){v,dis[v]});
                }
            }
        }
    }//Dijkstra算法（堆优化）
    void Soviet()
    {
        int s=m+1,t=m+2;
        G.clear();
        F(i,1,m)
        {
            G.Add2(i,s,x[i]);
            G.Add2(i,t,(n-x[i]));
        }//S和T的边
        F(i,1,m) F(j,1,i-1) 
        {
            G.Add2(i,j,d(x[i]-x[j],y[i]-y[j])/2);
        }//两点之间的边，边权为距离/2
        Dijkstra(s);
        printf("%.2f\n",dis[t]);
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}