一、算法介绍
Kruskal算法是一种用来查找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪心算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal 算法在图中存在相同权值的边时也有效。最小生成树是一副连通加权无向图中一棵权值最小的生成树（minimum spanning tree，简称MST）。生成树的权重是赋予生成树的每条边的权重之和。最小生成树具有 (V – 1) 个边，其中 V 是给定图中的顶点数。关于最小生成树，它可以应用在网络设计、NP难题之类的问题，还可以用于聚类分析，还可以间接应用于其他问题。
二、Kruskal算法查找MST的步骤
-
按权重的顺序方式来对所有边进行排序。
-
选择权重最小的边。检查它是否与形成的生成树形成一个循环。如果未形成循环，则包括该边。否则，将其丢弃。
-
重复步骤2，直到生成树中有（V-1）个边。
这个算法是贪婪算法。“贪婪的选择”是选择迄今为止不会造成MST成环的最小的权重边。下面来一个例子来理解：
该图包含9个顶点（V）和14个边（E）。因此，形成的最小生成树将具有（9 – 1）= 8 个边。
步骤1：每条边按顺序来排序
1 /** 2 * 排序后： 3 * 权重-src-dest 4 * 1 6 7 5 * 2 2 8 6 * 2 5 6 7 * 4 0 1 8 * 4 2 5 9 * 6 6 8 10 * 7 2 3 11 * 7 7 8 12 * 8 0 7 13 * 8 1 2 14 * 9 3 4 15 * 10 4 5 16 * 11 1 7 17 * 14 3 5 18 */
步骤2+步骤3：：利用按权重排好序的边数组，每次选取最小边，并检测是否成环。MST不能有环，所以这里涉及一个并查集的概念，并查集是对这个 Kruskal 算法进行优化的。
1）数组中一个接一个地选取所有边。选取边6-7：不形成循环，将其包括在内。
2）选取边2-8：不形成循环，将其包括在内。
3）选取边5-6：不形成循环，将其包括在内。
4）选取边0-1：不形成循环，将其包括在内。
5）选取边2-5：不形成循环，将其包括在内。
6）选取边6-8：由于包括该边会导致成环，因此将其丢弃。
7）选取边2-3：不形成循环，将其包括在内。
8）选取边7-8：由于包括该边会导致循环，因此请将其丢弃。
9）选取边0-7：不形成循环，将其包括在内。
10）选取边1-2：由于包括该边会导致循环，因此请将其丢弃。
11）选取边3-4：不形成循环，将其包括在内。
由于包含的边数等于（V – 1），因此算法结束。
三、算法代码
并查集：
在计算机科学中，并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不交集（Disjoint Sets）的合并及查询问题。有一个联合-查找算法（union-find algorithm）定义了两个用于此数据结构的操作：
-
Find：确定元素属于哪一个子集。它可以被用来确定两个元素是否属于同一子集。 -
Union：将两个子集合并成同一个集合。
并查集树是一种将每一个集合以树表示的数据结构，其中每一个节点保存着到它的父节点的引用。
在并查集树中，每个集合的代表即是集合的根节点。“查找”根据其父节点的引用向根行进直到到底树根。“联合”将两棵树合并到一起，这通过将一棵树的根连接到另一棵树的根。实现这样操作的一种方法是：
查找元素 i 的集合，根据其父节点的引用向根行进直到到底树根：
1 private int find(Subset[] subsets, int i) { 2 if (subsets[i].parent != i) 3 subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent); // 路径压缩，找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面 4 return subsets[i].parent; 5 }
将两组不相交集合 x 和 y 进行并集，找到其中一个子集最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个子集的最久远的祖先的父亲指向它：
1 public void union(Subset[] subsets, int x, int y) { 2 int xroot = find(subsets, x); 3 int yroot = find(subsets, y); 4 5 /* 在高秩树的根下附加秩低树（按秩划分合并） */ 6 if (subsets[xroot].rank < subsets[yroot].rank) { 7 subsets[xroot].parent = yroot; 8 } else if (subsets[xroot].rank > subsets[yroot].rank){ 9 subsets[yroot].parent = xroot; 10 } else { // 当两棵秩同为r的树联合(作并集)时，它们的秩r+1 11 subsets[yroot].parent = xroot; 12 subsets[xroot].rank++; 13 } 14 }
同时使用路径压缩、按秩（rank）合并优化的程序每个操作的平均时间仅为 O(α (n))，其中α (n) 是 n=f(x)=A(x, x) 的反函数，A 是急速增加的阿克曼函数。因为 α(n) 是其反函数，故 α (n) 在 n 十分巨大时还是小于 5。因此，平均运行时间是一个极小的常数。实际上，这是渐近最优算法。
Kruskal算法
使用算法的思想来构造MST。
1 /** 2 * 使用Kruskal算法构造MST 3 */ 4 public void kruskalMST() { 5 Edge[] result = new Edge[V]; // 将存储生成的MST 6 int e = 0; // 用于result[]的索引变量 7 int i = 0; // 用于排序的边缘索引变量 8 for (i = 0; i < V; ++i) { 9 result[i] = new Edge(); 10 } 11 12 /* 步骤一：对点到点的边的权重进行排序 */ 13 Arrays.sort(edges); 14 15 /* 创建V个子集*/ 16 Subset[] subsets = new Subset[V]; 17 for (i = 0; i < V; i++) { 18 subsets[i] = new Subset(); 19 } 20 21 /* 使用单个元素创建V子集 */ 22 for (int v = 0; v < V; v++) { 23 subsets[v].parent = v; 24 subsets[v].rank = 0; // 单元素的树的秩定义为0 25 } 26 27 /* 用于挑选下一个边的索引 */ 28 i = 0; 29 30 while (e < V-1) { 31 /* 步骤2：选取最小的边缘, 并增加下一次迭代的索引 */ 32 Edge next_edge = edges[i++]; 33 34 int x = find(subsets, next_edge.src); 35 int y = find(subsets, next_edge.dest); 36 37 /* 如果包括此边不引起mst成环（树本无环），则将其包括在结果中并为下一个边增加结果索引存下一条边 */ 38 /* 这里判断两个元素是否属于一个子集 */ 39 if (x != y) { 40 result[e++] = next_edge; 41 union(subsets, x, y); 42 } 43 /* 否则丢弃next_edge */ 44 } 45 46 /* 打印result[]的内容以显示里面所构造的MST */ 47 System.out.println("Following are the edges in the constructed MST"); 48 for (i = 0; i < e; ++i) { 49 System.out.println(result[i].src + " -- " + result[i].dest + " == " + result[i].weight); 50 } 51 }
平均时间复杂度为O (|E|·log |V|)，其中 E 和 V 分别是图的边集和点集。
本文源代码：
1 package algorithm.mst; 2 3 import java.util.Arrays; 4 5 public class KruskalAlgorithm { 6 /* 顶点数和边数 */ 7 private int V, E; 8 /* 所有边的集合 */ 9 private Edge[] edges; 10 11 /** 12 * 创建一个V个顶点和E条边的图 13 * 14 * @param v 15 * @param e 16 */ 17 public KruskalAlgorithm(int v, int e) { 18 V = v; 19 E = e; 20 edges = new Edge[E]; 21 for (int i = 0; i < e; i++) { 22 edges[i] = new Edge(); 23 } 24 } 25 26 /** 27 * 查找元素i的集合（路径压缩） 28 * 根据其父节点的引用向根行进直到到底树根 29 * 30 * @param subsets 31 * @param i 32 * @return 33 */ 34 private int find(Subset[] subsets, int i) { 35 if (subsets[i].parent != i) 36 subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent); // 路径压缩，找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面 37 return subsets[i].parent; 38 } 39 40 /** 41 * 将两组不相交集合x和y进行并集（按秩合并） 42 * 这个方法找到其中一个子集最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个子集的最久远的祖先的父亲指向它。 43 * <p> 44 * 并查集树的最基础的表示方法，这个方法不会比链表法好， 45 * 这是因为创建的树可能会严重不平衡。 46 * 所以采用“按秩合并”来优化。 47 * </p> 48 * <p> 49 * 即总是将更小的树连接至更大的树上。因为影响运行时间的是树的深度， 50 * 更小的树添加到更深的树的根上将不会增加秩除非它们的秩相同。 51 * 在这个算法中，术语“秩”替代了“深度”，因为同时应用了路径压缩时秩将不会与高度相同。 52 * </p> 53 * 54 * @param subsets 55 * @param x 56 * @param y 57 */ 58 public void union(Subset[] subsets, int x, int y) { 59 int xroot = find(subsets, x); 60 int yroot = find(subsets, y); 61 62 /* 在高秩树的根下附加秩低树（按秩划分合并） */ 63 if (subsets[xroot].rank < subsets[yroot].rank) { 64 subsets[xroot].parent = yroot; 65 } else if (subsets[xroot].rank > subsets[yroot].rank){ 66 subsets[yroot].parent = xroot; 67 } else { // 当两棵秩同为r的树联合(作并集)时，它们的秩r+1 68 subsets[yroot].parent = xroot; 69 subsets[xroot].rank++; 70 } 71 } 72 73 /** 74 * 使用Kruskal算法构造MST 75 */ 76 public void kruskalMST() { 77 Edge[] result = new Edge[V]; // 将存储生成的MST 78 int e = 0; // 用于result[]的索引变量 79 int i = 0; // 用于排序的边缘索引变量 80 for (i = 0; i < V; ++i) { 81 result[i] = new Edge(); 82 } 83 84 /* 步骤一：对点到点的边的权重进行排序 */ 85 Arrays.sort(edges); 86 87 /* 创建V个子集*/ 88 Subset[] subsets = new Subset[V]; 89 for (i = 0; i < V; i++) { 90 subsets[i] = new Subset(); 91 } 92 93 /* 使用单个元素创建V子集 */ 94 for (int v = 0; v < V; v++) { 95 subsets[v].parent = v; 96 subsets[v].rank = 0; // 单元素的树的秩定义为0 97 } 98 99 /* 用于挑选下一个边的索引 */ 100 i = 0; 101 102 while (e < V-1) { 103 /* 步骤2：选取最小的边缘, 并增加下一次迭代的索引 */ 104 Edge next_edge = edges[i++]; 105 106 int x = find(subsets, next_edge.src); 107 int y = find(subsets, next_edge.dest); 108 109 /* 如果包括此边不引起mst成环（树本无环），则将其包括在结果中并为下一个边增加结果索引存下一条边 */ 110 /* 这里判断两个元素是否属于一个子集 */ 111 if (x != y) { 112 result[e++] = next_edge; 113 union(subsets, x, y); 114 } 115 /* 否则丢弃next_edge */ 116 } 117 118 /* 打印result[]的内容以显示里面所构造的MST */ 119 System.out.println("Following are the edges in the constructed MST"); 120 for (i = 0; i < e; ++i) { 121 System.out.println(result[i].src + " -- " + result[i].dest + " == " + result[i].weight); 122 } 123 } 124 125 public static void main(String[] args) { 126 /** 127 * 排序后： 128 * 权重-src-dest 129 * 1 6 7 130 * 2 2 8 131 * 2 5 6 132 * 4 0 1 133 * 4 2 5 134 * 6 6 8 135 * 7 2 3 136 * 7 7 8 137 * 8 0 7 138 * 8 1 2 139 * 9 3 4 140 * 10 4 5 141 * 11 1 7 142 * 14 3 5 143 */ 144 int V = 9; 145 int E = 14; 146 KruskalAlgorithm graph = new KruskalAlgorithm(V, E); 147 148 /* 另一个用例的图: 149 1 --- 2 --- 3 150 / | | \ | \ 151 0 | 8 \ | 4 152 \ | / | \ | / 153 7 --- 6 --- 5 154 */ 155 156 // 添加边 0-1 157 graph.edges[0].src = 0; 158 graph.edges[0].dest = 1; 159 graph.edges[0].weight = 4; 160 161 // 添加边 0-7 162 graph.edges[1].src = 0; 163 graph.edges[1].dest = 7; 164 graph.edges[1].weight = 8; 165 166 // 添加边 1-2 167 graph.edges[2].src = 1; 168 graph.edges[2].dest = 2; 169 graph.edges[2].weight = 8; 170 171 // 添加边 1-7 172 graph.edges[3].src = 1; 173 graph.edges[3].dest = 7; 174 graph.edges[3].weight = 11; 175 176 // 添加边 2-3 177 graph.edges[4].src = 2; 178 graph.edges[4].dest = 3; 179 graph.edges[4].weight = 7; 180 181 // 添加边 2-5 182 graph.edges[5].src = 2; 183 graph.edges[5].dest = 5; 184 graph.edges[5].weight = 4; 185 186 // 添加边 2-8 187 graph.edges[6].src = 2; 188 graph.edges[6].dest = 8; 189 graph.edges[6].weight = 2; 190 191 // 添加边 3-4 192 graph.edges[7].src = 3; 193 graph.edges[7].dest = 4; 194 graph.edges[7].weight = 9; 195 196 // 添加边 3-5 197 graph.edges[8].src = 3; 198 graph.edges[8].dest = 5; 199 graph.edges[8].weight = 14; 200 201 // 添加边 4-5 202 graph.edges[9].src = 4; 203 graph.edges[9].dest = 5; 204 graph.edges[9].weight = 10; 205 206 // 添加边 5-6 207 graph.edges[10].src = 5; 208 graph.edges[10].dest = 6; 209 graph.edges[10].weight = 2; 210 211 // 添加边 6-7 212 graph.edges[11].src = 6; 213 graph.edges[11].dest = 7; 214 graph.edges[11].weight = 1; 215 216 // 添加边 6-8 217 graph.edges[12].src = 6; 218 graph.edges[12].dest = 8; 219 graph.edges[12].weight = 6; 220 221 // 添加边 7-8 222 graph.edges[13].src = 7; 223 graph.edges[13].dest = 8; 224 graph.edges[13].weight = 7; 225 226 graph.kruskalMST(); 227 228 /* 用例通过算法得出的MST如下: 229 1 2 -- 3 230 / | \ \ 231 0 8 \ 4 232 \ \ 233 7 -- 6 -- 5 234 */ 235 } 236 237 /** 238 * 每条边的信息，实现了{@link Comparable}接口, 239 * 可以使用{@link Arrays}的方法随其边的权重的集合进行自然排序。 240 */ 241 class Edge implements Comparable<Edge> { 242 /* 这条边的两个顶点和它的权重 */ 243 private int src, dest, weight; 244 245 @Override 246 public int compareTo(Edge o) { 247 return this.weight - o.weight; 248 } 249 } 250 251 /** 252 * 联合查找子集的类 253 */ 254 class Subset { 255 /* 其祖先和秩 */ 256 private int parent, rank; 257 } 258 }