基本性质

优先级队列，也叫二叉堆、堆（不要和内存中的堆区搞混了，不是一个东西，一个是内存区域，一个是数据结构）。

堆的本质上是一种完全二叉树，分为：

最小堆（小根堆）：树中每个非叶子结点都不大于其左右孩子结点的值，也就是根节点最小的堆，图（a）。
最大堆（大根堆）：树中每个非叶子结点都不小于其左右孩子结点的值，也就是根节点最大的堆，图（b）。

基本操作

均以大根堆为例

存储方式

堆本质上是一颗完全二叉树，使用数组进行存储，从$a[1]$开始存储，这样对于下标为$k$的结点$a[k]$来说，其左孩子的下标为$2*k$，右孩子的下标为$2*k+1$。，且不论 $k$ 是奇数还是偶数，其父亲结点（如果有的话）就是 $\left \lfloor k/2 \right \rfloor $。

向上调整

假如我们向一个堆中插入一个元素，要使其仍然保持堆的结构。应该怎么办呢？

可以把想要添加的元素放在数组的最后，也就是完全二叉树的最后一个结点的后面，然后进行向上调整（heapinsert）。向上调整总是把欲调整结点与父亲结点比较，如果权值比父亲结点大，那么就交换其与父亲结点，反复比较，直到到达堆顶或父亲结点的值较大为止。向上调整示意图如下：

代码如下，时间复杂度为$O(logn)$：

void heapinsert(int* arr, int n) {
    int k = n;
    //如果 K 结点有父节点，且比父节点的权值大
    while (k > 1 && arr[k] > arr[k / 2]) {
        //交换 K 与父节点的值
        swap(arr[k / 2], arr[k]);
        k >>= 1;
    }
}

这样添加元素就很简单了

void insert(int* arr, int n, int x) {
    arr[++n] = x;//将x置于数组末尾
    heapinsert(arr, n);//向上调整x
}

向下调整

假如我们要删除一个堆中的堆顶元素，要使其仍然保持堆的结构。应该怎么办呢？

移除堆顶元素后，将最后一个元素移动到堆顶，然后对这个元素进行向下调整（heapify），向下调整总是把欲调整结点 $K$ 与其左右孩子结点比较，如果孩子中存在权值比当前结点 $K$ 大的，那么就将其中权值最大的那个孩子结点与结点 $K$，反复比较，直到到结点 $K$ 为叶子结点或结点 $K$ 的值比孩子结点都大为止。向下调整示意图如下：

代码如下，时间复杂度也是$O(logn)$：

void heapify(int* arr, int k, int n) {
    //如果结点 K 存在左孩子
    while (k * 2 <= n) {
        int left = k * 2;
        //如果存在右孩子，并且右孩子的权值大于左孩子
        if (left + 1 <= n && arr[left] < arr[left + 1])
            left++; //就选中右孩子
        //如果节点 K 的权值已经大于左右孩子中较大的节点
        if (arr[k] > arr[left])
            break;
        swap(arr[left], arr[k]);
        k = left;
    }
}

这样删除堆顶元素也就变得很简单了

void deleteTop(int* arr, int n) {
    arr[1] = arr[n--];//用最后一个元素覆盖第一个元素，并让n-1
    heapify(arr, 1, n);
}

建堆

自顶向下建堆

自顶向下建堆的思想是，从第 $i=1$ 个元素开始，对其进行向上调整，始终使前 $i$ 个元素保持堆的结构。时间复杂度 $O(nlogn)$

void ArrayToHeap(int *a,int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        heapinsert(a, i);
    }
}

自底向上建堆

自底向上建堆的思想是，从底 $i=\left \lfloor n/2 \right \rfloor $ 个元素开始，对其进行向下调整，始终让后 $n-i$ 个元素保持堆的结构。

void ArrayToBheap(int *a, int n) {
    int i = n / 2;
    for (; i >= 1; i--) {
        heapify(a, i, n);
    }
}

如果仅从代码上直观观察，会得出构造二叉堆的时间复杂度为$O(nlogn)$的结果。当然这个上界是正确的，但却不是渐近界，可以观察到，不同结点在运行 heapify 的时间与该结点的树高（树高是指该结点到最底层叶子结点的值，不要和深度搞混了）相关，而且大部分结点的高度都很小。利用以下性质可以得到一个更准确的渐近界：

一个高度为 $h$ 含有 $n$ 个元素的堆，有 $h=\lfloor logn\rfloor$ ，最多包含 $\lceil \frac{n}{2^{k+1}} \rceil$ 高度为 $k$ 的结点

【可以画颗树试一下，具体证明请看算法导论】

在一个高度为 $h$ 的结点上运行 heapify 的代价为 $O(h)$，我们可以将自顶向下建堆的总复杂度表示为
\[ \sum ^{h}_{k=0} \lceil \frac {n}{2^{k+1}} \rceil O(h)= O(n\sum ^{h} _{k=0}\frac {k}{2^{k}}) \]
这个式子
\[ \sum ^{h} _{k=0}\frac {k}{2^{k}} \]
其实就是求前 $n$ 项和，高中数学的知识
\[ T(k)=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{k}{2^k}\\\frac{1}{2}T(k)=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+\cdots+\frac{k-1}{2^k}+\frac{k}{2^k+1}\\T(k)-\frac{1}{2}T(k)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^k}-\frac{k}{2^{k+1}}\\\frac{1}{2}T(k)=\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^k)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{k}{2^{k+1}}\\T(k)=2-\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{k}{2^{k}} \]
到这儿就需要求极限，高等数学的知识 $\frac{1}{2^{k-1}}$ 当 $k$ 趋于无穷大时极限是 $0$，对 $\frac{k}{2^{k}}$ 用洛必达法则极限也是 $0$

也就是说当 $h$ 趋向于无穷大时，$O(n\sum ^{h} _{k=0}\frac {k}{2^{k}})=O(n\cdot 2)$ ，去掉常数项，所以自底向上建堆复杂度为 $O(n)$

堆排序

堆排序的思想：假设一个大根堆有 $n$ 个元素，每次把第 $1$ 个元素，与第 $n$ 个元素交换，对第一个元素进行向下调整（heapify），并使得 $n=n-1$ ，直到 $n=1$

void heapSort(int* arr, int n) {
    //先自底向上建堆
    int i = n / 2;
    for (; i >= 1; i--) {
        heapify(arr, i, n);
    }

    for (int i = 50; i > 1; i--) {
        swap(arr[1], arr[i]);
        heapify(arr, 1, i - 1);
    }
}

例题

寻找第K大元素

首先用数组的前k个元素构建一个小根堆，然后遍历剩余数组和堆顶比较，如果当前元素大于堆顶，则把当前元素放在堆顶位置，并调整堆（heapify）。遍历结束后，堆顶就是数组的最大k个元素中的最小值，也就是第k大元素。

void heapify(int* a, int index, int length) {
    int left = index * 2 + 1;
    while (left <= length) {
        if (left + 1 <= length - 1 && a[left + 1] > a[left])left++;
        if (a[index] > a[left])break;
        swap(a[index], a[left]);
        index = left;
    }
}

void ArrayToBheap(int* a, int length) {
    int i = length / 2 - 1;
    for (; i >= 0; i--) {
        heapify(a, i, length);
    }
}

void FindKMax(int* a, int k, int length) {
    ArrayToBheap(a, k);
    for (int i = k; i < length; i++) {
        if (a[i] > a[0]) a[0] = a[i];
        heapify(a, 0, k);
    }
}

时间复杂度$O(n)$，只是举个例子。

事实上对于这个问题是有更快的做法的，快速排序的思想，时间复杂度 $O(logn)$

int Search_K(int left, int right, int k) {
    int i = left, j = right;
    int p = rand() % (right - left + 1) + left;
    int sign = a[p];
    swap(a[p], a[i]);
    while (i < j) {
        while (i < j && a[j] >= sign)j--;
        while (i < j && a[i] <= sign)i++;
        swap(a[i], a[j]);
    }
    swap(a[i], a[left]);
    if (i - left + 1 == k)return a[i];
    if (i - left + 1 < k)return Search_K(i + 1, right, k - (i - left + 1));
    else return Search_K(left, i - 1, k);
}

堆更多时候，因为它建堆$O(n)$，调整$O(logn)$，当需要有序得到某些数据，是要优于排序（$O(nlogn)$）算法的，而且如果数据规模是动态增加的，那堆就要完全优于排序算法了，在C++的STL是有堆的实现的，叫做 priority_queue 。

数据结构篇——优先级队列（堆）