题目链接：HDU 2899
Problem Description
Now, here is a fuction:
F(x) = 6 * x^7+8x^6+7x^3+5x^2-yx (0 <= x <=100)
Can you find the minimum value when x is between 0 and 100.
Input
The first line of the input contains an integer T(1<=T<=100) which means the number of test cases. Then T lines follow, each line has only one real numbers Y.(0 < Y <1e10)
Output
Just the minimum value (accurate up to 4 decimal places),when x is between 0 and 100.
Sample Input
2
100
200Sample Output
-74.4291
-178.8534Solution
题意
给定 \(y\)，求函数 \(F(x) = 6x^7 + 8x^6 + 7x^3 + 5x^2 - yx\) 的最小值，其中 \(x\) 的范围是 \([0, 100]\)。
思路
模拟退火
模拟退火算法是一种随机化算法，在数学建模中比较常见，在 ACM 中不太常用。主要用于求解函数 (不是单峰函数的时候) 的最值，在最小圆/球覆盖中也有应用。
模拟退火算法基于物理退火的原理，将固体加热至高温然后冷却，温度越高降温的概率越大 (降温更快)，温度越低降温的概率越小 (降温越慢)。模拟退火算法进行多次降温，直到找到一个可行解。
简单来说，如果新的状态比当前状态更优就接受该状态，否则以一定概率接受新状态。概率为：\(P(\Delta E) = e^{\frac{-\Delta E}{T}}\)，其中 \(T\) 为当前温度，\(\Delta E\) 新状态与当前状态的能量差。
模拟退火主要有三个参数：初始温度 \(T_0\)，降温系数 \(d\)，终止温度 \(T_k\)。
让当前温度 \(T = T_0\)，温度下降，尝试转移，如果转移 \(T = d * T\)。当 \(T < T_k\) 时结束模拟退火算法。
伪代码如下：
T0 = 100000; // 初始温度为高温，设置成一个大数
Tk = 1e-8; // 终止温度为低温，设置为一个接近于0的数
d = 0.98; // d是一个小于1但是非常接近于1的数
f(x); // 评价函数，比如物理意义上的温度
T = T0; // 当前温度
now, nxt; // 当前状态与新状态
while(T > Tk) {
dE = f(now) - f(nxt); // 能量差
if(dE >= 0) { // 新状态更优就接受
now = nxt;
} else if(exp(-dE/T) > rand()) { // 否则以一定概率接受
now = nxt;
}
T *= d; // 降温
}模拟退火算法的缺点主要是精度不高，求得的是近似最优解而不是最优解。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
const db Tk = 1e-8;
const db T0 = 100000;
const db d = 0.98;
// 评估函数
db func(db x, db y) {
return 6 * pow(x, 7.0) + 8 * pow(x, 6.0) + 7 * pow(x, 3.0) + 5 * pow(x, 2.0) - y * x;
}
// 模拟退火
db simulateAnneal(db y) {
db T = T0;
db x = 50.0; // x的初始值
db now = func(x, y); // 当前状态
db nxt;
db ans = now; // 最优解
while(T > Tk) {
int f[2] = {-1, 1};
db newx = x + f[rand() % 2] * T; // 按概率改变x，温度越低概率越小
if(newx >= 0 && newx <= 100) {
nxt = func(newx, y); // 新状态
ans = min(ans, nxt); // 在退火过程中维护遇到的所有解的最优值
db dE = now - nxt; // 能量差
if(dE >= 0) {
now = nxt;
x = newx;
} else if(exp(dE / T) > rand()) {
now = nxt;
x = newx;
}
}
T *= d;
}
return ans;
}
int main() {
db y;
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--) {
scanf("%lf", &y);
printf("%.4lf\n", simulateAnneal(y));
}
return 0;
}Reference
《算法竞赛 入门到进阶》罗勇军 郭卫斌 著