习题：最大子矩阵（DP）

题目

传送门

思路

这道题的m很有意思
只可能为1，或者2
所以我们分开考虑

\(m==1\)

这个时候整个矩阵为一条链
所以定义dp[i][j]为前i个数选了j个矩阵
\(dp[i][j]=\max_{t=i-1}^{j-1}dp[t][j-1]+s[i]-s[t]\)

\(m==2\)

我们从\(m==1\)中可以得到一些启示
定义dp[i][j][k]为定义第1列选了i个，第2列选了j个，一共选了k个矩阵
\(s[i][j]\)为第j列前i个数字的和
\(dp[i][j][t]=\max_{z=i-1}^{0}dp[z][j][t-1]+s[i][1]-s[z][1]\)
\(dp[i][j][t]=\max_{z=j-1}^{0}dp[i][z][t-1]+s[j][2]-s[z][2]\)
但是我们还要考虑\(i==j\)的特殊情况
\(dp[i][i][t]=\max_{z=i-1}^{0}dp[z][z][t-1]+s[i][1]-s[z][1]+s[j][2]-s[z][2]\)
初始化也比较简单
\(dp[i][j][t]=max\{dp[i-1][j][t],dp[i][j-1][t]\}\)

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,k;
int a[105][5];
int s[105][5];
int dp[105][105][15];
int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
            s[i][j]=s[i-1][j]+a[i][j];
        }
    }
    
    if(m==1)
    {
        dp[1][1][1]=a[1][1];
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=k;j++)
            {
                dp[i][1][j]=dp[i-1][1][j];
                for(int t=i-1;t>=1;t--)
                {
                    dp[i][1][j]=max(dp[i][1][j],dp[t][1][j-1]+s[i][1]-s[t][1]);
                }
            }
        }
        cout<<dp[n][1][k];
    }
    else
    {
        
        for(int t=1;t<=k;t++)
        {
            for(int i=0;i<=n;i++)
            {
                for(int j=0;j<=n;j++)
                {
                    if(i!=0&&j!=0)
                        dp[i][j][t]=max(dp[i][j-1][t],dp[i-1][j][t]);
                    else if(i!=0)
                        dp[i][j][t]=dp[i-1][j][t];
                    else if(j!=0)
                        dp[i][j][t]=dp[i][j-1][t];
                    for(int z=i-1;z>=0;z--)
                        dp[i][j][t]=max(dp[i][j][t],dp[z][j][t-1]+s[i][1]-s[z][1]);
                    for(int z=j-1;z>=0;z--)
                        dp[i][j][t]=max(dp[i][j][t],dp[i][z][t-1]+s[j][2]-s[z][2]);
                    if(i==j)
                    {
                        for(int z=i-1;z>=0;z--)
                            dp[i][j][t]=max(dp[i][j][t],dp[z][z][t-1]+s[i][1]-s[z][1]+s[j][2]-s[z][2]);
                    }
                }
            }
        }
        cout<<dp[n][n][k];
    }
    return 0;
}