[NOI2014] 魔法森林
Description
给定一张图，每条边 \(i\) 的权为 \((a_i,b_i)\)， 求一条 \(1 \sim n\) 路径，最小化 \(\max_{i\in P}{a_i} + \max_{i\in P}{b_i}\)
Solution
如果我们限定最大的 \(b_i\) ，那么路径一定在以 \(a_i\) 为权的最小生成树上。
Proof. 考虑反证，假设这条路径中有一条边不在 MST 上，那么这条非树边与树必然形成一个环，很显然用这条边换掉环上任意一条其它边会减小生成树的权值，与最小生成树的条件矛盾。
利用这个性质构造算法。我们从小到大枚举 \(b_i\) 的最大值，依次将边加入树中，同时用 LCT 维护以 \(a_i\) 为边权的最小生成树即可。
维护最小生成树的方法非常简单。利用 LCT 维护树链最大值，当新边 \((u,v,w)\) 加入时，我们考虑如果这条边比树链 \(u \sim v\) 上的最大值小，那么就用它换掉那个最大值的边。因此 LCT 上需要维护最大值以及最大值的位置。
使用 LCT 维护边权通常的做法是对边建点，点权赋为边权，而真实的点则不具有点权。同时维护边的基本信息。
以下阐述为较为具体的实现方式
在本题中，我们可以用编号 \(1 \sim n\) 的点来代表真实点，用编号 \(n+1 \sim n+m\) 的点来代表边，同时在一个结构体数组中以 \((u,v,w)\) 的形式记录边权的基本信息。注意边的编号可以用按照 \(b_i\) 为关键字排序后的代替。
在 LCT 的实现层面上，我们可以姑且忽略这一切，全当作维护树链的最大点权和最大点权点编号。
当我们需要查询 \(u \sim v\) 间的最大边权时，我们只需要在 LCT 上询问即可。
当我们需要删除一条边的时候，我们只需要知道它的编号 \(i\) ，然后断开 \((u_i, n+i)\) 和 \((v_i, n+i)\)
当我们需要加入一条边的时候，我们只需要知道它的编号 \(i\) ，然后连接 \((u_i, n+i)\) 和 \((v_i, n+i)\)
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1000000;
int n,m;
struct Edge {
int u,v,w,b;
bool operator < (const Edge &x) const {
return b < x.b;
}
} e[N];
struct LinkCutTree {
int top, q[N], ch[N][2], fa[N], rev[N], mx[N], mp[N], val[N];
inline void pushup(int x) {
mx[0]=mp[0]=0;
mx[x] = max(max(mx[ch[x][0]],mx[ch[x][1]]),val[x]);
if(mx[x] == mx[ch[x][0]])
mp[x]=mp[ch[x][0]];
if(mx[x] == mx[ch[x][1]])
mp[x]=mp[ch[x][1]];
if(mx[x] == val[x])
mp[x]=x;
}
inline void pushdown(int x) {
if(!rev[x])
return;
rev[ch[x][0]]^=1;
rev[ch[x][1]]^=1;
rev[x]^=1;
swap(ch[x][0],ch[x][1]);
}
inline bool isroot(int x) {
return ch[fa[x]][0]!=x && ch[fa[x]][1]!=x;
}
inline void rotate(int p) {
int q=fa[p], y=fa[q], x=ch[fa[p]][1]==p;
ch[q][x]=ch[p][x^1];
fa[ch[q][x]]=q;
ch[p][x^1]=q;
fa[q]=p;
fa[p]=y;
if(y)
if(ch[y][0]==q)
ch[y][0]=p;
else if(ch[y][1]==q)
ch[y][1]=p;
pushup(q);
pushup(p);
}
inline void splay(int x) {
q[top=1]=x;
for(int i=x; !isroot(i); i=fa[i])
q[++top]=fa[i];
for(int i=top; i; i--)
pushdown(q[i]);
for(; !isroot(x); rotate(x))
if(!isroot(fa[x]))
rotate((ch[fa[x]][0]==x)==(ch[fa[fa[x]]][0]==fa[x])?fa[x]:x);
}
void access(int x) {
for(int t=0; x; t=x,x=fa[x])
splay(x),ch[x][1]=t,pushup(x);
}
void makeroot(int x) {
access(x);
splay(x);
rev[x]^=1;
}
int find(int x) {
access(x);
splay(x);
while(ch[x][0])
x=ch[x][0];
return x;
}
void split(int x,int y) {
makeroot(x);
access(y);
splay(y);
}
void cut(int x,int y) {
split(x,y);
if(ch[y][0]==x)
ch[y][0]=0, fa[x]=0;
}
void link(int x,int y) {
makeroot(x);
fa[x]=y;
}
void setval(int p,int v) {
val[p]=mx[p]=v;
mp[p]=p;
}
int queryv(int p,int q) {
split(p,q);
return mx[q];
}
int queryp(int p,int q) {
split(p,q);
return mp[q];
}
} lct;
bool check(int p,int q) {
return lct.find(p)==lct.find(q);
}
int queryv(int p,int q) {
return lct.queryv(p,q);
}
int queryp(int p,int q) {
return lct.queryp(p,q)-n;
}
void link(int i) {
lct.link(n+i,e[i].u);
lct.link(n+i,e[i].v);
}
void cut(int i) {
lct.cut(n+i,e[i].u);
lct.cut(n+i,e[i].v);
}
int ans = 1e+12;
signed main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=m; i++) {
scanf("%d%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w,&e[i].b);
}
sort(e+1,e+m+1);
for(int i=1;i<=n;i++) lct.setval(i, 0);
for(int i=1;i<=m;i++) lct.setval(i+n, e[i].w);
for(int i=1;i<=m;i++) {
if(check(e[i].u,e[i].v)) {
int v=queryv(e[i].u,e[i].v), p=queryp(e[i].u,e[i].v);
if(v > e[i].w) {
cut(p);
link(i);
}
}
else {
link(i);
}
if(check(1,n)) {
ans = min(ans, queryv(1,n) + e[i].b);
}
}
if(ans < (int)1e+12) cout<<ans<<endl;
else cout<<-1<<endl;
}