Gym100739H Hard Molecules

Hard Molecules

给定一个连通图中每个点的度数，求一个满足条件的图，图可以有重边，不能有自环。

n<=5000, d_i<=10⁹

题解

如果不要求图连通，那么只需要判断

\[ \sum d_i \mod 2=0\\ \max\{d_i\} \leq \frac{\sum d_i}{2} \]

然后将度数分成两部分连边即可。

现在要求图连通，那么就先做一棵生成树出来。

由于我们想让每个点的非树边最大度数最小，所以我们可以贪心：维护一棵树，每次选择树上度数最大的点和树外度数最大的点连边。

CO int N=5000+10;
int n,d[N],G[N][N];

IN void connect(int x,int y,int w){
    G[x][y]+=w,G[y][x]+=w;
    d[x]-=w,d[y]-=w;
}

bool vis[N];

bool build_tree(){
    int root=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
        if(d[i]>d[root]) root=i;
    vis[root]=1;
    for(int t=1;t<n;++t){
        int a=-1;
        for(int i=1;i<=n;++i)if(vis[i])
            if(a==-1 or d[i]>d[a]) a=i;
        int b=-1;
        for(int i=1;i<=n;++i)if(!vis[i])
            if(b==-1 or d[i]>d[b]) b=i;
        if(a==-1 or b==-1) return 0;
        if(d[a]==0 or d[b]==0) return 0;
        connect(a,b,1);
        vis[b]=1;
    }
    return 1;
}

typedef pair<int,int> pii;
vector<pii> L,R;

bool check(){
    LL tot=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) tot+=d[i];
    if(tot&1) return 0;
    tot>>=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(d[i]>tot) return 0;
    for(int i=1;i<=n;++i)if(d[i]){
        if(tot>=d[i]){
            tot-=d[i];
            L.push_back(pii(d[i],i));
        }
        else{
            if(tot) L.push_back(pii(tot,i));
            R.push_back(pii(d[i]-tot,i));
            tot=0;
        }
    }
    return 1;
}
int main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;++i) read(d[i]);
    if(build_tree() and check()){
        puts("Yes");
        for(int i=0,p=0;i<(int)L.size();++i){
            for(;p<(int)R.size() and L[i].first>=R[p].first;++p){
                connect(L[i].second,R[p].second,R[p].first);
                L[i].first-=R[p].first;
            }
            if(L[i].first){
                connect(L[i].second,R[p].second,L[i].first);
                R[p].first-=L[i].first;
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;++i,puts(""))
            for(int j=i+1;j<=n;++j) printf("%d ",G[i][j]);
    }
    else puts("No");
    return 0;
}