这周拿到一道有趣的题，决定写篇blog记录一下。
问题描述如下：
在一条长度为1的线段上任取两个点，求这两个点表示的线段的期望长度。
这道题有很多种解法，非常有意思。
首先，对于期望，它是这么个东西：
\(E(X)=\sum_{i=0}^n p_ix_i\)，其中\(E(X)\)表示事件\(X\)的期望，\(p_i\)表示情况\(x_i\)出现的概率，\(n\)为情况总数。
用人话讲就是事件\(X\)所有情况的平均值，简称均值。
解法一：
正统解法，概率。
如果学过高数，可以很容易转换成数学模型：
设 \(x \in [0,1],y\in[0,1]\)，求\(\mid x-y\mid\)的均值。
可以看到\(x,y\)属于连续性随机变量且服从均匀分布。显然有当\(\mid x-y \mid\)为某一定值\(t\)时，该情况成立时\(x,y\)构成的点集在坐标轴上形成两条直线\(x-y=t,-y+x=t\)。考虑所有情况，我们只需对所有情况进行积分即可，即求两直线在\(x\in[0,1],y\in[0,1]\)围成的面积。
解法二：
排列组合。
想象在一段区间上取点，我们把该区间分为\(n-1\)段，即共\(n\)个点组成的方案选择问题。那么，对于一段长度为\(t\in[0,n]\)的区间，它能够取的情况数是\(2*(n-t)\)。总共的能取的区间总数为\(2*C_n^2+n-1\)，即\(n^2\)。所以期望就是
\[ \frac{2*\sum_{i=0}^n (n-t)*t}{n^2} \]
将其转化为实数域上的问题，并将\(n=1\)代入，化简后得
\[ 2\int_0^1 (x-x^2)dx \]
当然你不积分，直接等差数列求和也行。
类似于此种解法，我们还可以从一个点所能取到的方案数入手，而不是一段区间\(t\)，最后的结论也是一样的。
解法三：
鬼畜做法，古典概型。
设该区间被三个端点\(x,y,z\)分为两段，实际上我们所要解决的问题就是：任取两个点\(x,y\)，并使\(z\)落在\(x\sim y\)之间。
只有两种情况成立，即\(x<z<y,y<z<x\)，于是
\[ \frac{2}{3!} \]
做完了。