一条线段引发的思考

这周拿到一道有趣的题,决定写篇blog记录一下。



问题描述如下:

在一条长度为1的线段上任取两个点,求这两个点表示的线段的期望长度。


这道题有很多种解法,非常有意思。

首先,对于期望,它是这么个东西:

\(E(X)=\sum_{i=0}^n p_ix_i\),其中\(E(X)\)表示事件\(X\)的期望,\(p_i\)表示情况\(x_i\)出现的概率,\(n\)为情况总数。

用人话讲就是事件\(X\)所有情况的平均值,简称均值。


解法一:

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正统解法,概率。

如果学过高数,可以很容易转换成数学模型:

\(x \in [0,1],y\in[0,1]\),求\(\mid x-y\mid\)的均值。

可以看到\(x,y\)属于连续性随机变量且服从均匀分布。显然有当\(\mid x-y \mid\)为某一定值\(t\)时,该情况成立时\(x,y\)构成的点集在坐标轴上形成两条直线\(x-y=t,-y+x=t\)。考虑所有情况,我们只需对所有情况进行积分即可,即求两直线在\(x\in[0,1],y\in[0,1]\)围成的面积。

解法二:

排列组合。

想象在一段区间上取点,我们把该区间分为\(n-1\)段,即共\(n\)个点组成的方案选择问题。那么,对于一段长度为\(t\in[0,n]\)的区间,它能够取的情况数是\(2*(n-t)\)。总共的能取的区间总数为\(2*C_n^2+n-1\),即\(n^2\)。所以期望就是
\[ \frac{2*\sum_{i=0}^n (n-t)*t}{n^2} \]
将其转化为实数域上的问题,并将\(n=1\)代入,化简后得
\[ 2\int_0^1 (x-x^2)dx \]

当然你不积分,直接等差数列求和也行。

类似于此种解法,我们还可以从一个点所能取到的方案数入手,而不是一段区间\(t\),最后的结论也是一样的。

解法三:

鬼畜做法,古典概型

设该区间被三个端点\(x,y,z\)分为两段,实际上我们所要解决的问题就是:任取两个点\(x,y\),并使\(z\)落在\(x\sim y\)之间。

只有两种情况成立,即\(x<z<y,y<z<x\),于是
\[ \frac{2}{3!} \]
做完了。

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转载自www.cnblogs.com/DarkValkyrie/p/11666806.html