【luogu4719】动态DP模板 [动态DP]

\(f_{i,0}\)表示不选\(i\)的最大答案 \(f_{i,1}\)表示选择\(i\)的最大答案

则有DP方程\(\begin{cases} f_{i,0}=\sum_{son}max(f_{son,0},f_{son,1}) \\f_{i,1}=w_i+\sum_{son}f_{son,0} \end{cases}\) 答案为\(max(f_{rt,0},f_{rt,1})\)

考虑带修改我们将这个棵树熟练剖分后

设 \(g_{i,0}\)表示不选择\(i\)且只允许选择\(i\)的轻儿子所在子树的最大答案，\(g_{i,1}\)表示选择\(i\)的最大答案，\(son_i\)表示\(i\)的重儿子。

则有方程\(\begin{cases} f_{i,0}=g_{i,0}+max(f_{son_i,0},f_{son_i,1})\\f_{i,1}=g_{i,1}+f_{son_i,0} \end{cases}\) 答案为\(max(f_{rt,0},f_{rt,1})\)

可构造出矩阵：\(\begin{bmatrix}g_{i,0}&g_{i,0} \\g_{i,2}&-\infty \end{bmatrix}*\begin{bmatrix}f_{son_i,0} \\f_{son_i,1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{i,0} \\f_{i,1} \end{bmatrix}\)

模拟了一下中间矩阵转移还是有点不太懂== 其他修改，查询看代码应该都能懂ovo

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ls o<<1
#define rs o<<1|1
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
const int N=1e5+10,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
ll w[N],f[N][2];
template<class t>void rd(t &x){
    x=0;int w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    x=w?-x:x;
}

int head[N],tot=0;
struct edge{int v,nxt;}e[N<<1];
void add(int u,int v){e[++tot]=(edge){v,head[u]},head[u]=tot;}

int idx=0,dfn[N],id[N],fa[N],son[N],top[N],bot[N],sz[N];
void dfs1(int u,int ff){
    fa[u]=ff,sz[u]=1;
    for(int i=head[u],v,mxs=-1;i;i=e[i].nxt){
        if((v=e[i].v)==ff) continue;
        dfs1(v,u),sz[u]+=sz[v];
        if(mxs<sz[v]) mxs=sz[v],son[u]=v;
    }
}
void dfs2(int u,int topf){
    dfn[u]=++idx,id[idx]=u,top[u]=topf;
    if(!son[u]) {bot[u]=u;return;}
    dfs2(son[u],topf),bot[u]=bot[son[u]];
    for(int i=head[u],v;i;i=e[i].nxt)
        if((v=e[i].v)!=fa[u]&&v!=son[u]) dfs2(v,v);
}
void dfs(int u){
    f[u][0]=0,f[u][1]=w[u];
    for(int i=head[u],v;i;i=e[i].nxt) 
        if((v=e[i].v)!=fa[u]){
            dfs(v);
            f[u][0]+=Max(f[v][1],f[v][0]),f[u][1]+=f[v][0];
        }
}

struct Matri{
    ll a[2][2];
    Matri operator*(const Matri &X)const{
        Matri c;
        memset(c.a,0,sizeof(c.a));
        for(int i=0;i<=1;++i)
            for(int j=0;j<=1;++j)
                for(int k=0;k<=1;++k)
                    c.a[i][j]=Max(c.a[i][j],a[i][k]+X.a[k][j]);
        return c;
    }
}val[N],t[N<<2],ans;
void pup(int o){t[o]=t[ls]*t[rs];}
void mdf(int o,int l,int r,int x){
    if(l==r){t[o]=val[l];return;}
    int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid) mdf(ls,l,mid,x);
    else mdf(rs,mid+1,r,x);
    pup(o);
}
Matri query(int o,int l,int r,int x,int y){
    if(x<=l&&r<=y) return t[o];
    int mid=l+r>>1;
    if(y<=mid) return query(ls,l,mid,x,y);
    if(x>mid) return query(rs,mid+1,r,x,y);
    return query(ls,l,mid,x,y)*query(rs,mid+1,r,x,y);
}

void build(int o,int l,int r){
    if(l==r){
        int u=id[l];ll g0=0,g1=w[u];
        for(int i=head[u],v;i;i=e[i].nxt)
            if((v=e[i].v)!=fa[u]&&v!=son[u])
                g0+=Max(f[v][0],f[v][1]),g1+=f[v][0];
        val[l]=t[o]=(Matri){g0,g0,g1,-inf};
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
    pup(o);
}


void Mdf(int x,int k){
    val[dfn[x]].a[1][0]+=k-w[x],w[x]=k;
    while(x){
        Matri a=query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[bot[x]]),b;
        mdf(1,1,n,dfn[x]);
        b=query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[bot[x]]);
        x=fa[top[x]];if(!x) return;
        int nw=dfn[x];
        ll g0=a.a[0][0],g1=a.a[1][0],f0=b.a[0][0],f1=b.a[1][0];
        val[nw].a[0][0]=val[nw].a[0][1]=val[nw].a[0][0]+Max(f0,f1)-Max(g0,g1),
        val[nw].a[1][0]=val[nw].a[1][0]+f0-g0;
    }
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    rd(n),rd(m);
    for(int i=1;i<=n;++i) rd(w[i]);
    for(int i=1,u,v;i<n;++i) rd(u),rd(v),add(u,v),add(v,u);
    dfs1(1,0),dfs2(1,1),dfs(1),
    build(1,1,idx);
    for(int i=1,x,y;i<=m;++i){
        rd(x),rd(y);
        Mdf(x,y);
        ans=query(1,1,n,dfn[1],dfn[bot[1]]);
        printf("%d\n",Max(ans.a[0][0],ans.a[1][0]));
    }
    return 0;
}

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