AI机器人最高等级

题目描述

在小朱朱的游戏世界里，有n个AI机器人。
他们相互之间可以进行PK，胜方存活且升一级，负方直接淘汰。
高等级AI必定战胜低等级AI，同等级AI的PK结果必定一胜一负，且规定每级差距至多为1级。
一开始所有的AI机器人都是0级，小朱朱可以指定任意两个AI机器人进行PK。
小朱朱想知道，按照此规则进行AI对抗赛，能产生的最高等级AI机器人为多少级。

输入描述

一个正整数n, $ 2 <= n <= 10 ^ {18} $, 表示AI机器人的数量

输出描述

游戏结束时，最高等级AI机器人可以达到的等级

示例

输入：2；输出：1
输入：4；输出：2
输入：72；输出：8

解析

这个题目初看起来没有任何思路，那就先看看前面最高等级所需的最少情况。

首先看看什么情况下等级会最高，就用示例中的72为例：

若两两0级进行PK，则会得到36个1级AI机器人，再两两PK，则可以得到18个2级AI机器人。

若先让部分0级进行PK，再将升到1级的AI机器人和剩余的0级机器人进行PK，这里72刚好能被3整除，也就意味着第一次PK，得到24个1级AI机器人和24个0级AI机器人，第二次PK让1级AI机器人和0级AI机器人进行PK，则可以得到24个2级AI机器人。

由此可知，等级一高一低时会产生更多的同级AI机器人，也就意味着这样也会得到最高等级的AI机器人。

这样，让就从几个低等级的AI机器人所需要的最少0级AI机器人的数量是多少：

0级机器人$n_0$：1

1级机器人$n_1$：2

2级机器人$n_2$：$n_0 + n_1= 1 + 2$

3级机器人$n_3$：$n_1+ n_2 = 2 + 1 + 2 = 1 + 2 * 2$

4级机器人$n_4$：$n_2 + n_3 = 1 + 2 + 1 + 2 * 2 = 1 * 2 + 2 * 3$

5级机器人$n_5$：$n_3 + n_4 = 1 * 3 + 2 * 5$

6级机器人$n_6$：$n_4 + n_5 = 1 * 5 + 2 * 8$

7级机器人$n_7$：$n_5 + n_6 = 1 * 8 + 2 * 13$

8级机器人$n_8$：$n_6 + n_7 = 1 * 13 + 2 * 21$

9级机器人$n_9$：$n_7 + n_8 = 1 * 21 + 2 * 34$

..................................

由此可以看出，这里的系数满足斐波那契数列，假设斐波那契数列相邻两个数为$a,b(a < b)$，那么，$n_x=1 * a + 2 * b$。

由于输入最小为2，可见斐波那契数列是从0，1开始的，此时的最高等级为1。依次迭代一次斐波那契数列的系数，最高等级加1，若该系数所计算处的$n_x$刚好满足输入的值，则此时的最高等级为$x$,若$n_{x-1} < n < n_{x}$，那么此时的最高等级为$x-1$。

据此，则可以编出下面的程序。

def ai_pk_grade(total_num):
    a, b = 0, 1
    grade = 1
    if total_num <= 1:
        return 0

    while True:
        required_num = a * 1 + b * 2
        if required_num > total_num:
            return grade - 1
        elif required_num == total_num:
            return grade
        else:
            a, b = b, a+b
            grade = grade + 1

while True:
    num = int(input())
    print(ai_pk_grade(num))