夏令营501-511NOIP训练16——数字转换

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题意：如果一个数x的约数和（不包括它本身，下同）比它本身小，那么x可以变成它的约数和；如果对于某个y>x且y的约数和为x，那么x也可以变成y。例如，4可以变为3，1可以变为7。限定所有的数字变换在不超过n的正整数范围内进行，求不断进行数字变换且没有重复数字出现的最多变换步数。

思路：YY一下，若$x$可以变为$y$，则$y$也一定能变为$x$，所以我们对于可以互相变换的点建一条无向边，因为每一个点最多之和一个值比它小的点连边，所以不可能出现环（这点可以人工YY证明）

所以我们在这个无环“森林”中跑一个最长链即可

代码：（其实以1为根跑直径不够严谨，用DP算最长链更好）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
vector<int> v[50005];
int d[50005];
 
void dfs(int u,int f,int depth)
{
    d[u]=depth;
    for(int i=0;i<(int)v[u].size();i++)
    {
        if(v[u][i]==f) continue;
        dfs(v[u][i],u,depth+1);
    }
}
 
void init(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int sum=0;
        for(int j=1;j*j<=i;j++)
        {
            if(i%j==0)
            {
                sum+=j;
                if(j*j!=i&&j!=1) sum+=i/j;
            }
        }
        if(sum<i)
        {
            v[sum].push_back(i);
            v[i].push_back(sum);
        }
    }
//  for(int i=1;i<=n;i++)
//  {
//      cout<<i<<":";
//      for(int j=0;j<v[i].size();j++) cout<<v[i][j]<<" ";
//      cout<<endl;
//  }
}
 
int main()
{
    int n; cin>>n;
    init(n);
    dfs(1,-1,0);
    int s=-1,maxn=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(maxn<d[i])
        {
            maxn=d[i];
            s=i;
        }
    }
    dfs(s,-1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(maxn<d[i]) maxn=d[i];
    }
    cout<<maxn<<endl;
    return 0;
}

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