图论——极图和托兰定理

一、 $l$部图的概念与特征

$l$部图定义：

完全 $l$部图定义：
如果在一个 $l$部图G中，任意部 $V_i$中的每个顶点同G中其它各部中的每个顶点均邻接，称G为完全 $l$部图。记作： $G=K_{n_1, n_2,\cdots, n_l}(n_i = |V_i|, 1 \le i \le l)$
完全 $l$等部图：
各部顶点数相同的完全 $l$部图
n阶完全 $l$几乎等部图：
各部顶点数差值不超过1，记为 $T_{l,n}$

定理1：连通偶图的2部划分是唯一的。
定理2：n阶完全偶图 $K_{n_1,n_2}$的边数 $m=n_1n_2$,且有： $m\le [\frac{n^2}{4}]$
定理3：n阶l部图G有最多边数的充要条件是 $G ≌ T_{l,n}$。

二、托兰定理及其应用

定义：设G和H是两个n阶图，称G度弱于H，如果存在双射μ：V(G)→V(H),使得： $\forall v \in V(G), 有 d_G(v)\le d_H(\mu(v))$则称G度弱于H，一定有 $m(G)\le m(H)$。
定理4：若n阶简单图G不包含 $K_{l+1}$，则G度弱于某个完全 l 部图 H，且若G具有与 H 相同的度序列，则: $G ≌H$。

托兰定理：若G是简单图，并且不包含 $K_{l+1}$,则： $m(G) \le m(T_{l,n})$，仅当 $G ≌T_{l,n}$时有 $m(G)= m(T_{l,n})$。