有一\(n\times m\)的矩阵\(\{a\}\)，定义\(a[0][0]=0,a[0][1]=233,a[0][2]=2333,a[0][3]=23333...\),然后给出\(a[1][0],a[2][0],...,a[n][0]\),未给出或定义的位置满足\(a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]\),询问\(a[n][m]\)的值\(mod\ 10000007\)，\(n ≤ 10,m ≤ 10^9\)。
解
显然对于第0行，我们有转移方程\(a[0][i]=a[0][i-1]\times 10+3\)，这个是可以转移的，显然需要增添辅助1，注意到n很小，故考虑整个压维，故设状态矩阵（以n=2为例）
\[\begin{bmatrix}1&a[0][i]&a[1][i-1]&a[2][i-1]\end{bmatrix}\]
不难得知转移方程
\[\begin{bmatrix}1&3&0&0\\0&10&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{bmatrix}\]
于是根据规律，填写转移矩阵和状态矩阵即可。
参考代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
#define yyb 10000007
using namespace std;
struct matrix{
ll jz[12][12];
il void clear(){
memset(jz,0,sizeof(jz));
}
il void unit(){
clear();ri int i;
for(i=0;i<12;++i)jz[i][i]=1;
}
il void print(){
ri int i,j;
for(i=0;i<12;++i,putchar('\n'))
for(j=0;j<12;++j)
printf("%lld ",jz[i][j]);
putchar('\n');
}
il matrix operator*(matrix x){
matrix y;y.clear();
ri int i,j,k;
for(i=0;i<12;++i)
for(j=0;j<12;y.jz[i][j]%=yyb,++j)
for(k=0;k<12;++k)
y.jz[i][j]+=jz[i][k]*x.jz[k][j]%yyb;
return y;
}template<class free>
il matrix operator^(free y){
matrix ans,x(*this);ans.unit();
while(y){
if(y&1)ans=ans*x;
x=x*x,y>>=1;
}return ans;
}
}tran,state;
int main(){
ll n,m;int i,j;
while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF){
state.jz[0][0]=1,state.jz[0][1]=233;
for(i=2;i<=n+1;++i)scanf("%lld",&state.jz[0][i]);
tran.jz[0][0]=1,tran.jz[0][1]=3,tran.jz[1][1]=10;
for(i=2;i<=n+1;++i)
for(j=1;j<=i;++j)
tran.jz[j][i]=1;
state=state*(tran^m);
printf("%lld\n",state.jz[0][n+1]);
tran.clear(),state.clear();
}
return 0;
}