『拓扑排序·期望』绿豆蛙的归宿

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Description

给出一个有向无环的连通图，起点为1终点为N，每条边都有一个长度。绿豆蛙从起点出发，走向终点。

到达每一个顶点时，如果有K条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 1/K 。

现在绿豆蛙想知道，从起点走到终点的所经过的路径总长度期望是多少？

题解

我们知道期望是可以直接转移的，若f[x]表示当前状态，f[y]表示接下来的状态，那么一定可以转移为：f[y]=f[x]+概率*权值。

对于这一道题，如果我们选择正着推，那么我们需要给初始的起点概率赋值为1，再将这一个1不断分解，得到最后的概率。

当然我们也可以选择不这么做，选择逆推的做法来进行；这样的话我们不用对1这一个数进行分解，因为最后一个点概率一定为0；因此我们直接累加概率，再直接输出f[1]即可。由于起点的概率为1，那么我们只需要输出f[1]即可。

在许多期望dp中逆推是一个很常见的技巧；不需要累加初始值，最后也不用乘上概率，十分方便。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,m;
int P[200000];
int in[200000];
double dis[200000];
vector< pair<int,int> >a[200000];
queue<int>q;

int main(void)
{
	freopen("frog.in","r",stdin);
	freopen("frog.out","w",stdout);
	cin>>n>>m;
    for (int i=1,x,y,v;i<=m;++i)
    {
    	scanf("%d %d %d",&x,&y,&v);
    	a[y].push_back(make_pair(x,v));
    	in[x] ++;
    	P[x] ++;
    }
    q.push(n);
    while (q.size())
    {
    	int x = q.front();
    	q.pop();
    	for (int i=0;i<a[x].size();++i)
    	{
    		int y = a[x][i].first;
    		int v = a[x][i].second;
    		dis[y] += (dis[x]+v)/P[y];
    		in[y] --;
    		if (!in[y]) q.push(y);
    	}
    }
    printf("%.2lf",dis[1]);
    return 0;
}