高等数学第一章第二节与第三节--数列与函数极限

数列的极限

• 数列
  概念： 按照某一法则，对于每隔正整数n，对应一个确定的实数xn，这些实数按从小到大排列得到一个序列叫做数列。
• 收敛数列的性质：
  1.收敛极限的唯一性 如果一个数列收敛那么它的极限唯一
  2.收敛数列的有界性 如果一个数列收敛，那么该数列必有界
  3.收敛数列的保号性如果一个数列的极限大于0,那么存在正整数N,n>N后面的项都大于0
  -----推论如果从某项起xn大于等于0那么极限大于等于0
  4.收敛数列与子数列的关系如果一个数列收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a(相反不成立-1 1 -1 1)

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函数的极限

• 函数的极限
  解释如果自变量趋于某一值，对应的函数值也趋于某一值，那么此值就是函数的极限
• 函数极限的性质
  1.函数极限的唯一性 如果函数极限存在，那么唯一
  2.函数极限的局部有界性如果函数在某一取心邻域内有极限，那么该去心邻域范围内有界。
  3.函数极限的局部保号性如果函数在某一取心邻域内有极限，且极限大于0(小于0).那么该去心邻域范围内的值也大约0（小于0）
  –推论如果函数在某点的去心领域的极限等于A,那么函数值大于二分之A的绝对值
  –推论如果在函数在某点的去心邻域内的函数值>=0，那么该函数的在该去心领域的极限>=0(小于同理)
  函数极限与数列极限的关系如果一个收敛于x0的函数内分出一个收敛于x0的数列，且xn不等于x0,那么相应函数值数列也收敛于，且函数的极限等于函数值数列的极限。