树形DP ---- Codeforces Global Round 2 F. Niyaz and Small Degrees引发的一场血案

  Aspirations：没有结果，没有成绩，acm是否有意义？它最大的意义就是让我培养快速理解和应用一个个未知知识点的能力。

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  Background：F. Niyaz and Small Degrees http://codeforces.com/contest/1119/problem/F 

                         这道题目是一道高阶的树形DP的题目，我之前并没有涉及到这类题目。

  已经有的基础：DP中的01背包。

  特点：看到的树形DP的题解大部分都有DFS模块；状态转移方程自然不必再提。

  解决思路：先看官方题解，由于这道题目本身相对高阶，所以我打算从树形DP裸题入手

  {

　　 敲门砖：二叉苹果树 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2015 

　　 这道题目希望我们保留Q根树枝，使得树枝上的苹果数总和最大。

　　 定义f[who][quantity]为who分叉点上保留quantity根树枝的时候，所能拥有的最大苹果数——连接边的权重和。

　　 状态转移方程：f[who][quantity] = max( f[who][quantity], f[who][quantity-variable-1] + f[whose_son][variable] ) ;

　　 和这道题的题解的状态转移方程进行比对：f[u][i]=max(f[u][i],f[u][i−j−1]+f[v][j]+w)

　　 嗯，漏掉了和子节点相连边的权重。所以状态转移方程是：

　　 f[who][quantity] = max( f[who][quantity], f[who][quantity-variable-1] + f[whose_son][variable] + e[now].w) ;

　　 接下来写代码遇到的问题：

　　 1.  quantity的定义要明确：是这个点所能连接的所有树枝数（直接或者间接），那么我需要知道子树上有几根树枝，

　　      所以，在当前位置DP之前，需要对子节点进行一次DFS，确定子节点的有几根和它相连的树枝。

　　　   注意，当前点的树枝数=子节点树枝数之和+子节点之和，因为要和子节点相连也需要一根树枝。

　　　　我在这里定义了sum数组来记录节点对应的树枝数。

　　 2. whose_son不能是父节点，不然在语义上是不通的，而且这样DFS也不可能会结束。

　　 3. 内层循环，分配给子节点的variable应该是 min(quantity-1,sum[whose_sum]) , 因为至少还需要保留一根树枝和子节点相连，再次注意不要漏掉连接边的权值。

　　 4. 这个是前几次交代码之后的错误：输入一条边之后我调用了两次add(a,b,c), 但是一次add里面已经做了两个完整的加边操作了。话说为什么会出现tle和re呢？

　　re和tle我是真的的想不明白，但是wa是有接下来几种情况：

　　　　（1）sum[who] += (sum[whose_son] + 1);  错误写法：sum[who] = sum[whose_son] + 1;  这样不能获取真实的直接或者间接相连的总枝条数，当然，如果

sum[who] += (sum[whose_son] + 1) 配合 调用了两次add(a,b,c)又是另外一个错误了，枝条数过度计算。

　　　　（2）请观察这段DP：quantity>0是对的，因为如果who点连接的枝条数是0，那么它能保留的苹果数就是初值0，无需更新；

　　　　　　 但是var必须>=0,因为var等于0只是意味着子节点不能有多余的枝条，但是这不意味着var=0没有意义，实际上它的意义在于当前父节点与子节点保持连通，

                 联通的这条边的权值还是会算进去的，少年，看到f[who][quantity-var-1]吗？里面var是0，但是还有一个-1，代表了父节点和子节点的连通。

　

　　　　  for(quantity = min(Q,sum[who]);quantity>0;--quantity)
         {
            for(var = min(quantity-1,sum[whose_son]);var>=0;--var)
            {
                f[who][quantity] = max(f[who][quantity],f[who][quantity-var-1]+f[whose_son][var]+mp[who][i].w);
            }
         }

 完整代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cmath>
 4 #include<map>
 5 #include<set>
 6 #include<vector>
 7 #include<cctype>
 8 #include<algorithm>
 9 #include<cstring>
10 #include<iostream>
11 using namespace std;
12 #define sc scanf
13 #define pt printf
14 #define maxn 105
15 #define inf 0x3f3f3f3f
16 #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)
17 #define pi acos(-1.0)
18 #define ull unsigned long long 
19 #define pb push_back
20 typedef struct ed{
21     int to;
22     int w;
23 }ed;
24 ed x;
25 map<int, vector<ed> > mp;
26 int N,Q;
27 void add(int a,int b,int c)
28 {
29     x.to=b; x.w=c; mp[a].pb(x);
30     x.to=a; x.w=c; mp[b].pb(x);
31 }
32 int f[maxn][maxn],sum[maxn];
33 void dfs(int who,int pre)
34 {
35     rep(i,0,(int)mp[who].size())
36     {
37         int whose_son = mp[who][i].to;
38         if(whose_son==pre) continue;
39         dfs(whose_son,who);
40         sum[who] += (sum[whose_son] + 1);
41         int var, quantity ;
42         for(quantity = min(Q,sum[who]);quantity;--quantity)
43         {
44             for(var = min(quantity-1,sum[whose_son]);var>=0;--var)
45             {
46                 f[who][quantity] = max(f[who][quantity],f[who][quantity-var-1]+f[whose_son][var]+mp[who][i].w);
47             }
48         }
49     }
50 }
51 int main()
52 {
53     //freopen("in.txt","r",stdin);
54     int a,b,c;
55     sc("%d%d",&N,&Q);
56     rep(i,0,N-1)
57     {
58         sc("%d%d%d",&a,&b,&c);
59         add(a,b,c); 
60     }
61     memset(f,0,sizeof(f)); memset(sum,0,sizeof(sum));
62     dfs(1,-1);
63     pt("%d",f[1][Q]);
64     return 0;
65 }

View Code

  }