也就是傅里叶变换。傅里叶变换经常用来分析不同滤波器的频率特性。可以使用2D离散傅里叶变换(DFT)分析图像的频域特性。实现DFT的一个快速算法称为快速傅里叶变换(FFT)。对于一个正弦信号：x(t) = Asin(2πft),它的频率为f，如果把这个信号转到它的频域表示，我们会在频率f中看到一个峰值。如果我们的信号是由采样产生的离散信号组成的，我们会得到类似的频谱图，只不过前面是连续的，现在是离散的。你可以把图像想象成沿着两个方向采集的信号。所以对图像同时进行X方向和Y方向的傅里叶变换，就会得到这幅图像的频域表示（频谱图）。
- Numpy中的傅里叶变换
Numpy中的FFT包可以实现快速傅里叶变换。函数np.fft.fft2()可以对信号进行频率转换，输出结果是一个复杂的数组。第一个参数是输入图像，要求是灰度格式。第二个参数是可选的，决定输出数组的大小。输出数组的大小和输入图像大小一样。如果输出结果比输入图像大，输入图像就需要进行FFT前补0.如果输出结果比输入图像小的话，输入图像就会被切割。
现在我们得到了结果，频率为0的部分（直流分量）在输出图像的左上角，如果想让它（直流分量）在输出图像的中心，还需要将结果沿两个方向平移N/2。函数np.fft.fftshift()可以实现，进行完频率变换后，就可以构建振幅谱了
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
img = cv2.imread('image/rose.jpg', 0)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
# 这里构建振幅图
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title("Input Image"),plt.xticks([]),plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title("Magnitude Spectrum"),plt.xticks([]),plt.yticks([])
plt.show()
效果如图：
接下来可以进行频域变换了，可以在频域对图像进行一些操作了，例如高通滤波和重构图像（DFT的逆变换），比如可以使用一个60x60的矩形窗口对图像进行掩模操作从而去除低频分量。然后再使用函数np.fft.ifftshift()进行逆平移操作，所以现在直流分量有回到左上角了，最后使用函数np.ifft2()进行FFT逆变换。同样又得到一堆复杂的数字，然后取绝对值；
rows, cols = img.shape
crow, ccol = int(rows/2), int(cols/2)
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
img_back = np.abs(img_back)
plt.subplot(131),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(132),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')
plt.title('Image after HPF'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(133),plt.imshow(img_back)
plt.title('Result in JET'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
效果如图：
2 OpenCV中的傅里叶变换
OpenCV中响应的函数是cv2.dft()和cv2.idft()。和前面的输出结果一样。但是爽通道的，第一个结果是实数部分，第二个结果是虚数部分。输入图像首先要转换成np.float32格式。
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
img = cv2.imread('image/rose.jpg', 0)
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1]))
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
接下来可以来做逆DFT。在前面的部分实现了一个HPF(高通滤波)，现在来做LPF(低通滤波)将高频部分去除。其实就是对图像进行模糊操作。首先需要构建一个掩模，与低频区域对应的地方设置为1，与高频区域对应的地方设置为0。
img = cv2.imread('image/rose.jpg', 0)
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
rows, cols = img.shape
crow, ccol = int(rows/2), int(cols/2)
# create a mask first, center square is 1, remaining all zeros
mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1
# apply mask and inverse DFT
fshift = dft_shift * mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = cv2.idft(f_ishift)
img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0], img_back[:,:,1])
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap='gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
3 最后看一下各个算子
# simple averaging filter without scaling parameter
mean_filter = np.ones((3,3))
# creating a gaussian filter
x = cv2.getGaussianKernel(5,10)
# x.T 为矩阵转置
gaussian = x*x.T
# different edge detecting filters
# scharr in x-direction
scharr = np.array([[-3, 0, 3],
[-10,0,10],
[-3,0,3]])
# sobel in x direction
sobel_x = np.array([[-1, 0, 1],
[-2, 0, 2],
[-1, 0, 1]])
# sobel in y direction
sobel_y = np.array([[-1, -2, -1],
[ 0, 0, 0],
[ 1, 2, 1]])
# laplacian
laplacian = np.array([[0, 1, 0],
[1,-4, 1],
[0, 1, 0]])
效果如图：
另外推荐一个关于matplotlib很好的教程网址： http://www.labri.fr/perso/nrougier/teaching/matplotlib/#quick-references
关于本教程相关的demo的代码在：http://download.csdn.net/download/eric_lmy/10172470