高等数学--极限与导数(二)

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了解极限的定义,极限运算法则:
  1. 两个无穷小的和是无穷小
  2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
  3. lim[f(x)+g(x)-h(x)]=limf(x)+limg(x)-limh(x)
  4. lim[f(x)*g(x)*h(x)]=limf(x)*limg(x)*limh(x)

利用matlab求极限的一般写法是limit(y,x,a),a表示x→a趋近于

syms x
y=(x^2+5)/(x-3);
 limit(y,x,2)

ans=-9

y=(x^3+2*x^2)/(x-2)^2;
 limit(y,x,2)

ans=inf

函数的连续性:

设函数f(x)在点x0的某一领域内有定义,如果lim f(x) = f(x0) x →x0,那么就称函数f(x)在点x0连续。

定理1:设函数f(x)和g(x)在点x0连续,则它们的和(差),积商都在点x0连续。

为了解决时刻变化的量问题,根据极限的概念,研究了导数。、
无论是非匀速直线运动,还是切线的斜率都归结为如下极限:
lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) x→x0

当x在x0处取得增量Δx,那么必然会产生增量Δy=f(x0+Δx) - f(x0); 如果Δy/Δx 之比 当Δx→0时的极限存在,那么称函数f(x)在点x0处可导。

说白了就是看lim Δy/Δx 存不存在。

记作dy/dx,各种不同意义的变量有一个变化“快慢”的问题,也就是函数的变化率问题,导数概念就是函数变化率的精确描述。

因为极限有左极限,右极限,所以导数也有左导数,右导数。函数f(x)在点x0处可导,必然要求左导数f(x0)及右导数f(x0)都存在且相等。

导数的几何意义是在点x0处切线的斜率,即dy/dx= tanα,α是切线的倾角。

根据导数的几何意义,可知切线方程为:
y-y0=f’(x0)*(x-x0)

过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线。如果f’(x0) != 0,那么法线方程为:

y-y0=- 1/(f’(x0)) * (x-x0)

例8 求等边双曲线y=1/x在点(0.5,2)处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程。

解:
一种方法是求双曲线y=1/x在点0.5处的极限,求斜率就是求导数,也即求lim Δy/Δx极限问题。
展开为 lim (f(x0+Δx) - f(x0))/ Δx,Δx→0
带入点(0.5,2)

syms x
 limit((1/(0.5+x)-2)/x,x,0)

在这里插入图片描述
导数是-4,那么切线方程就是:
y-2=-4*(x-0.5)

法线方程就是:
y-2=1/4 *(x-0.5)

另一种方法就是直接求导数

 diff(1/x,x)

在这里插入图片描述
代入(0.5,2)结果相同。

顺便复习一下,线性和非线性。
简单的说,线性就是指表达式只有1次方,而非线性就是表达式非1次方。
对于线性函数,其导数为常数。很好理解,直线上的任意一点,与x轴的切线斜率必然是个固定值。
对于非线性函数,其导数不为常数。很好理解,曲线上不同位置的点,与x轴的切线斜率是变化值。

再复习一下,单项式和多项式。
单项式只有乘除,没有加减,单项式形如3x,1/x , x^2,单项式可以是线性的,也可以是非线性的。
多项式不光有乘除,还有加减,多项式形如3x+8, 1/x -3x^2,多项式可以是线性的,也可以是非线性的。

函数的可导性与连续性

如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数在该点必然连续,但一个函数在某点连续,它不一定在该点可导。

例10 y=x^(1/3) ,在区间(-∞,+∞)连续,但在x=0处不可导
在这里插入图片描述
当x=0时,导数无穷大,即导数不存在。
画图:
在这里插入图片描述
y=x^(1/3)为什么没有负数部分?
调整坐标轴
在这里插入图片描述在这里插入图片描述
更奇怪了,网上查询,发现matlab或者mathematica对于这种情况都默认都不显示负数部分,当作虚数处理。
但是如何用matlab自身画出负数部分?查询无果。
只查询到能用mupad解决, 在mupad中使用surd(x,3)函数。
在这里插入图片描述

另外fplot和plot,ezplot几个函数有什么区别?
功能上一样,区别在于默认x轴取值,fplot默认是[-5,5],它比较适合画数值图像;ezplot默认是[-2π,2π],比较适合画三角函数类图像;plot没有默认,需要自己提前设定。

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