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文章来源于夏飞-聊一聊深度学习的activation function；
文章核心内容未作改变，部分排版会有少许变化；
1. 背景
深度学习的基本原理是基于人工神经网络，信号从一个神经元进入，经过非线性的activation function，传入到下一层神经元；再经过该层神经元的activate，继续往下传递，如此循环往复，直到输出层。正是由于这些非线性函数的反复叠加，才使得神经网络有足够的capacity来抓取复杂的pattern，再各个领域取得state-of-the-art的结果。显而易见，activate function在深度学习中举足轻重，也是很活跃的研究领域之一。目前来讲，选择怎样的activation function不在于它能否模拟真正的神经元，而是在于能够便于优化整个神经网络。下面我们简单聊一下各类函数的特点以及为什么现在优先推荐ReLU函数。
2. 深度学习中常见的激活函数
2.1 Sigmoid函数
\[ \sigma = \dfrac{1}{1+e^{-x}} \]
Sigmoid函数是深度学习领域开始时使用频率较高的activation function。它是便于求导的平滑函数，其导数为\(\sigma(x)(1-\sigma(x))\)，这是优点。然而，Sigma有三大缺点：
- 容易出现gradient vanishing
- 函数输出并不是zero-centered
- 幂运算相对来讲比较耗时
2.1.1 Gradient Vanishing
优化神经网络的方法是Back Propagation，即导数的后向传递：先计算输出层对应的loss，然后将loss以导数的形式不断向上一层网络传递，修正相应的参数，达到降低loss的目的。Sigmoid函数在深度网络中常常会导致导数逐渐变为0，使得参数无法被更新，神经网络无法被优化。原因在于两点：
（1）在上图中容易看出，\(\sigma(x)\)中\(x\)较大或较小时，导数接近于0，而后向传递的数学依据时微积分求导的链式法则，当前层的导数需要之前各层导数的乘积，几个小数的相乘，结果会很接近于0；
（2）Sigmoid导数的最大值时0.25，这意味着导数在每一层至少会被压缩为原来的1/4，通过两层后被变为1/16，...，通过10层后为1/1048576。请注意这里时“至少”，导数达到最大值这种情况还是很少见的。
2.1.2 输出不是zero-centered
Sigmoid函数的输出值恒大于0，这会导致模型训练的收敛速度变慢。举例来讲，对\(\sigma(\sum_iw_ix_i+b)\)，如果所有\(x_i\)均为正数或负数，那么其对\(w_i\)的导数总是正数或负数，这会导致如下图红色箭头所示的阶梯式更新，这显然并非一个好的优化路径。深度学习往往需要大量时间来处理大量数据，模型的收敛速度时尤为重要的。所以，总体上来讲，训练深度学习网络尽量使用zero-centered数据（可以通过数据预处理实现）和zero-centered输出。
2.1.3 幂运算相对耗时
相对于前两项，这其实并不是一个大问题，我们目前是具备相应计算能力的，但面对深度学习中庞大的计算量，最好能省则省 :-)。之后我们会看到，在ReLu函数中，需要做的仅仅是一个thresholding，相对幂运算来讲会快很多。
2.2 tanh函数
\[ tanh(x) = \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
tanh读作Hyperbolic Tangent，如上图所示，它解决了zero-centered的输出问题，然而，gradient vanishing的问题和幂运算的问题仍然存在。
2.3 ReLU函数
\[ ReLU = max(0, x) \]
ReLU函数其实就是一个取最大值函数，注意这并不是全区间可导的，但是我们可以取sub-gradient，如上图所示。ReLU虽然简单，但是确实近几年的重要成果，有以下几大优点：
- 解决了gradient vanishing的问题（在正区间）
- 计算速度非常快，只需要判断输入是否大于0
- 收敛速度快于Sigmoid和tanh
ReLU也有几个需要特别注意的问题：
（1）ReLU的输出不是zero-centered
（2）Dead ReLU Problem，指的是某些神经元可能永远不会被激活，导致相应的参数永远不能被更新。有两个主要原因可能导致这种情况产生：
- 非常不幸的参数初始化，这种情况比较少见；
- learning rate太高导致在训练过程中参数更新太大，不幸使网络进入这种状态。解决方法可以采用Xavier初始化方法，以及避免将learning rate设置太大或使用adagrad等自动调节learning rate的算法；
尽管存在这两个问题，ReLU目前仍是最常用的activation function，在搭建人工神经网络的时候推荐优先尝试；
2.4 Leaky ReLu函数
\[ f(x) = max(0.01x, x) \]
人们为了解决Dead ReLU Problem，提出了将ReLU的前半段设为\(0.01x\)而非0。另外一种直观的想法是基于参数的方法，即Parametric ReLU：\(f(x)=max(\alpha x,x)\)，其中\(\alpha\)可由back propagation学出来。理论上来讲，Leaky ReLU有ReLU的所有优点，外加不会有Dead ReLU问题，但是实际操作当中，并没有完全证明Leaky ReLU总是好于ReLU。
2.5 ELU（Exponential Linear Units）函数
\[ f(x)=\begin{cases}x, &if\ x > 0 \cr\alpha(e^x-1), &otherwise\end{cases} \]
ELU也是为解决ReLU存在的问题而提出，显然，ELU有ReLU的基本所有优点，以及：
- 不会有Dead ReLU问题
- 输出的均值接近于0，zero-centered
它的一个小问题在于计算量稍大。类似于Leaky ReLU，理论上虽然好于ReLU，但在实际使用中目前并没有好的证据ELU总是优于ReLU。
3. 小结
建议使用ReLU函数，但是要注意初始化和learning rate的设置；可以尝试用Leaky ReLU或ELU函数；不建议使用tanh，尤其是Sigmoid函数；
Reference
- Udacity Deep Learning Courses
- Stanford CS231n Course