「POJ3734」Blocks

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题意

有\(n\)个盒子和红，蓝，绿，黄四种颜色。使用这四种颜色对盒子进行染色，其中红色和绿色的数量必须为偶数，询问方案数

Solution

易知此题可以用指数型生成函数解决

对于红色和绿色，其\(EGF\)为

\[G_e(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}\dots=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\]

蓝色和黄色的\(EGF\)为

\[G_e(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\dots=e^x\]

乘起来可得

\[(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2*e^{2x}\]

\[=\frac{e^{4x}+2e^{2x}+1}{4}\]

我们知道\(\sum_{i=0}^{\infty}\frac{k^ix^i}{i!}=e^{kx}\)，\(n\)次项的系数为\(\frac{k^n}{n!}\)

忽略常数项，回带可得

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\[\frac{4^n+2\times 2^n}{4n!}\]

乘上阶乘即为答案

\[\frac{4^n+2\times 2^n}{4}\]

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

template <typename T>void read(T &t)
{
    t=0;int f=0;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){f|=c=='-';c=getchar();}
    while(isdigit(c)){t=t*10+c-'0';c=getchar();}
    if(f)t=-t;
}

const int mod=10007;
int T;
int n;

int fastpow(int a,int b)
{
    int re=1,base=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            re=re*base%mod;
        base=base*base%mod;
        b>>=1;
    }
    return re;
}

int main()
{
    read(T);
    while(T--)
    {
        read(n);
        printf("%d\n",(fastpow(4,n)+fastpow(2,n+1))%mod*fastpow(4,mod-2)%mod);
    }
    return 0;
}