Vijos 1067 守望者的烦恼矩阵乘法优化DP

title

守望者-warden，长期在暗夜精灵的的首都艾萨琳内担任视察监狱的任务，监狱是成长条形的，守望者warden拥有一个技能名叫“闪烁”，这个技能可以把她传送到后面的监狱内查看，她比较懒，一般不查看完所有的监狱，只是从入口进入，然后再从出口出来就算完成任务了。
描述 Description
头脑并不发达的warden最近在思考一个问题，她的闪烁技能是可以升级的，k级的闪烁技能最多可以向前移动k个监狱，一共有n个监狱要视察，她从入口进去，一路上有n个监狱，而且不会往回走，当然她并不用每个监狱都视察，但是她最后一定要到第n个监狱里去，因为监狱的出口在那里，但是她并不一定要到第1个监狱。
守望者warden现在想知道，她在拥有k级闪烁技能时视察n个监狱一共有多少种方案？

输入格式 Input Format

第一行是闪烁技能的等级k(1<=k<=10)
第二行是监狱的个数n(1<=n<=2^31-1)

输出格式 Output Format

由于方案个数会很多，所以输出它 mod 7777777后的结果就行了

样例输入 Sample Input

2
4

样例输出 Sample Output

5

时间限制 Time Limitation

各个测试点1s

注释 Hint

把监狱编号1 2 3 4,闪烁技能为2级，
一共有5种方案
→1→2→3→4
→2→3→4
→2→4
→1→3→4
→1→2→4
小提示：建议用int64，否则可能会溢出

来源 Source

杜杜我爱你个人原创

analysis

根据题意我们可以得到这样一个状态转移方程：
$f\left[ i\right] =\sum ^{i-k}_{j=i-1}f\left[ j\right]$

这个方程很简单，但是由于复杂度为 $O(NK)$ ，对于这道题来说，无法接受，那我们只好想怎么优化了，我们可以发现，当 $K$ 等于二的时候，这就是个斐波那契数列，ok，那我们就可以借鉴斐波那契数列的优化：矩阵乘法来优化这道题了。

我们设这个矩阵为A，那么显然可以得到以下的关系：
$\left( f\left[ N\right] \ldots f\left[ N-k\right] \right) \ast A=\left( f\left[ N+1\right] \ldots f\left[ N-k+1\right] \right) \ast A$
那么只要可以得到A，我们就能在 $O(\log N)$ 的复杂度内完成此题。
下面给出矩阵A，因为我也不知道为什么，具体的看上篇博文的链接吧。

for (int i=1; i<=K; ++i)
	num[i][1]=1;
for (int i=2; i<=K; ++i)
	num[i-1][i]=1;

然后用快速幂优化,最后 ${A^N}.num[1][1]$ 就是本题答案。
——来自 $Cydiater$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=7777777;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1, ch=getchar();
	while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}
ll n,K;
struct martix
{
	ll num[15][15];
	inline void build()
	{
		memset(num,0,sizeof(num));
		for (int i=1; i<=K; ++i)
			num[i][1]=1;
		for (int i=2; i<=K; ++i)
			num[i-1][i]=1;
	}
};
inline martix mul(martix a,martix b)
{
	martix ans;
	memset(ans.num,0,sizeof(ans));
	for (int i=1; i<=K; ++i)
		for (int j=1; j<=K; ++j)
			for (int k=1; k<=K; ++k)
				(ans.num[i][j]+=a.num[i][k]*b.num[k][j])%=mod;
	return ans;
}
inline void Quick_power(ll p)
{
	martix ans,a;
	a.build();
	memset(ans.num,0,sizeof(ans));
	for (int i=1; i<=K; ++i)
		ans.num[i][i]=1;
	while (p)
	{
		if (p&1)
			ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		p>>=1;
	}
	printf("%lld\n",ans.num[1][1]);
}
int main()
{
	read(K);read(n);
	Quick_power(n);
	return 0;
}