CH 3802 绿豆蛙的归宿 概率与数学期望

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title

LUOGU 4316
CH 3802
背景

随着新版百度空间的下线，Blog宠物绿豆蛙完成了它的使命，去寻找它新的归宿。

描述

给出一个有向无环的连通图，起点为1终点为N，每条边都有一个长度。绿豆蛙从起点出发，走向终点。
到达每一个顶点时，如果有K条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 1/K 。
现在绿豆蛙想知道，从起点走到终点的所经过的路径总长度期望是多少？

输入格式

第一行: 两个整数 N M，代表图中有N个点、M条边
第二行到第 1+M 行: 每行3个整数 a b c，代表从a到b有一条长度为c的有向边

输出格式

从起点到终点路径总长度的期望值，四舍五入保留两位小数。

样例输入

4 4
1 2 1
1 3 2
2 3 3
3 4 4

样例输出

7.00

数据范围与约定

对于20%的数据 N<=100
对于40%的数据 N<=1000
对于60%的数据 N<=10000
对于100%的数据 N<=100000，M<=2*N

analysis

设 $F[x]$表示从节点 $x$走到终点所经过的路径的期望长度。若从 $x$出发到有 $k$条边，分别到达 $y_{1}，y_{2}，\ldots，y_{k}$，边长分别为 $z_{1}，z_{2}，\ldots，z_{k}$，则根据数学期望的定义和性质，有：
$F[x]=\dfrac {1}{k}\sum ^{k}_{i=1}\left( F\left[ y_{i}\right] +z_{i}\right)$
所以 $F[N]=0$，我们的目标是求出 $F[1]$。所以我们从终点出发，在反图上进行 $Topsort$，在拓扑排序的过程中顺便计算 $F[x]$即可。这个算法的时间复杂度是 $O(N+M)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1, ch=getchar();
	while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}
int ver[maxn<<1],edge[maxn<<1],Next[maxn<<1],head[maxn],len;
inline void add(int x,int y,int z)
{
	ver[++len]=y,edge[len]=z,Next[len]=head[x],head[x]=len;
}
int deg[maxn],out[maxn];
double dist[maxn];
queue<int>q;
int main()
{
	int n,m;
	read(n);read(m);
	for (int i=1; i<=m; ++i)
	{
		int x,y,z;
		read(x);read(y);read(z);
		add(y,x,z);
		++deg[x],++out[x];
	}
	q.push(n);
	while (!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		for (int i=head[x]; i; i=Next[i])
		{
			int y=ver[i];
			dist[y]+=(dist[x]+edge[i])/deg[y];
			if (!--out[y]) q.push(y);
		}
	}
	printf("%.2f\n",dist[1]);
	return 0;
}