POJ：2229-Sumsets（完全背包的优化）

Sumsets

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Description

Farmer John commanded his cows to search for different sets of numbers that sum to a given number. The cows use only numbers that are an integer power of 2. Here are the possible sets of numbers that sum to 7:

1) 1+1+1+1+1+1+1
2) 1+1+1+1+1+2
3) 1+1+1+2+2
4) 1+1+1+4
5) 1+2+2+2
6) 1+2+4

Help FJ count all possible representations for a given integer N (1 <= N <= 1,000,000).

Input

A single line with a single integer, N.

Output

The number of ways to represent N as the indicated sum. Due to the potential huge size of this number, print only last 9 digits (in base 10 representation).

Sample Input

Sample Output

解题心得：

问给你一系列２的Ｎ次方的数，让你用这些数相加起来等于ｍ，问一共有多少种方法。
刚开始看到这个题的时候第一个反应就是青蛙跳台阶的问题（链接），按照这个思路状态转移就出来了。dp[n][m] += dp[n-1][m-k*c[i]]，在空间上优化可以使用滚动数组来进行优化。这样还是会TLE，因为没有优化过的完全背包是三重循环，这个时候就需要用到完全背包的优化，完全背包的优化其实很简单，思想就是既然背包有无穷多个，那么直接从小到大开始叠加就行了，会自然叠加到最大，这样就可以省去ｋ个背包的循环，利用的就是ｋ无穷大不用一一进行枚举。可以很简单的看懂优化代码。

没有优化过的完全背包（大概写法）：

for(int i=0;i<n;i++) {
    for(int k=1;k*c[i] <= n;k++) {
        for(int j=m;j>=k*c[i];k--) {
            dp[j] += dp[j-k*c[i]];
        }
    }
}

完全背包的时间优化（大概写法）：

for(int i=0;i<n;i++) {
    for(int j=c[i];j<=n;j++) {//注意这里是从小到大开始叠加
        dp[j] += dp[j-c[i]];
    }
}

AC代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = (int) 1e6 + 10;
int n, dp[maxn];
int Mod = (int) 1e9;

int main() {
    int T = 1;
    while (~scanf("%d", &n)) {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = 1;
        while (T <= n) {
            for (int j = T; j <= n; j++) {
                dp[j] += dp[j - T];
                dp[j] %= Mod;
            }
            T <<= 1;
        }
        printf("%d\n", dp[n]);
        return 0;
    }
}