Black-Scholes期权定价模型

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Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型

Black-Scholes 期权定价模型概述

　　1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。

　　斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。

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B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件

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(一)B-S模型有7个重要的假设　

　　1、股票价格行为服从对数正态分布模式；

　　2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；

　　3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；

　　4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；

　　5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。

　　6、不存在无风险套利机会；

　　7、证券交易是持续的；

　　8、投资者能够以无风险利率借贷。

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(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]

　　 $\mathbf{C=S\bullet N(d_1)-Le^{-rT}N(d_2)}$ 　

　　其中:

　　 $d_1= \frac {\ln \frac{S}{L} + \left( r+0.5\bullet \sigma^2 \right)T}{\sigma\bullet \sqrt{T}}$

　　 $d_2= \frac { \ln \frac{S}{L} + \left( r-0.5\bullet \sigma^2 \right)T}{\sigma\bullet \sqrt{T}}=d_1-\sigma\sqrt{T}$

C—期权初始合理价格　
L—期权交割价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率
σ2—年度化方差
N()—正态分布变量的累积概率分布函数 $\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{d_n} e^{-\frac{x^2}{2}}\, dx\right)$ ，在此应当说明两点：

　　第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为 $\mathbf{r_0}$ )一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。 $\mathbf{r_0}$ 必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为: $\mathbf{r=ln(1+r_0)}$ 或 $\mathbf{r_0=E_r-1}$ 。例如 $\mathbf{r_0=0.06}$ ，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用 $\mathbf{r_0=0.06}$ 计算的答案一致。　

　　第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则 $T=\frac{100}{365}=0.274$ 。　

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B-S定价模型的推导与运用[1]

　　(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:

　　 $\mathbf{E[G]=E[max(S_t-L,0)]}$

　　其中，

E[G]—看涨期权到期期望值
$\mathbf{S_t}$ —到期所交易金融资产的市场价值
L—期权交割(实施)价

　　到期有两种可能情况:

　　1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(St − L,O) = St − L

　　2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:

　　max(St − L,O) = 0

　　从而:

　　 $E[C_t]=P\times E[S_t|S_t>L]+(1-P)\times O=P\times E[S_t|S_t>L]-L)$

　　其中:P：(St > L)的概率E[St | St > L]：既定(St > L)下St的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:

　　C = Pe − rT(E[St | St > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[St | St > L]。

　　首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(St)与现价(S)比值的对数值，即收益 = lnSt / S = ln(St / L)。由假设1收益服从对数正态分布，即ln(St / L)～ $N(\mu_t,\sigma_t^2)$ ，所以E[lN(St / S] = μt，St / S～ $e^{N(\mu_t,\sigma_t^2)}$ 可以证明，相对价格期望值大于eμt，为:E[St / S] = eμt + σ2T2 = erT从而，μt = T(r − σ2)，且有σt = σT

　　其次，求(St > L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ξ > x] = 1 − N(x − μσ)其中:

　　ζ：正态分布随机变量

　　x：关键值

　　μ-ζ的期望值

　　σ-ζ的标准差

　　所以:P = Pr06[St > 1] = Pr06[lnSt / s] > lnLS = :LN − lnLS − (r − σ2)TσTnc4 由对称性:1 − N(d) = N( − d)P = NlnSL + (r − σ2)TσTarS。

　　第三，求既定St > L下St的期望值。因为E[St | St > L]处于正态分布的L到∞范围，所以，

　　E[St | St] > = SerTN(d1)N(d2)

　　其中: $d_1=ln(S/L)+(R+\frac{1}{2}\sigma^2)T\sigma Td_2=ln(S/L)+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T\sigma T=d_1-\sigma T$

　　最后，将P、E[St | St] > L]代入(C = Pe − rT(E[St | St > L] − L))式整理得B-S定价模型:C = SN(d1) − Le − rTN(d2)

　　(二)看跌期权定价公式的推导

　　B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:

　　 $\mathbf{S+P_e(S,T,L)=C_e(S,T,L)+L(1+r)-T}$

　　移项得:

　　 $\mathbf{P_e(S,T,L)=C_e(S,T,L)+L(1+r)-T-S}$ ，

　　将B-S模型代入整理得:

　　 $\mathbf{P=Le^{-rT}\left[1-N(d_2)\right]-S\left[1-N(d_1)\right]}$

　　此即为看跌期权初始价格定价模型。

　　(三)B-S模型应用实例

　　假设市场上某股票现价S为　164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:

　　①求d1:

　　 $d_1= \frac { \ln \frac{164}{165} + \left( 0.0521+0.5\times 0.0841 \right)0.0959}{\sigma\times\sqrt{0.0959}}$ =0.0328

　　②求d2:

　　 $d_2=0.0328-0.29\times \sqrt{0.0959}=-0.0570$

　　③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120　N(-0.06)=0.4761

　　④求C:

　　C=164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.4761=5.803

　　因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。

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B-S模型的发展、股票分红

　　B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。

　　(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间t(即除息日)支付已知红利Dt，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S' = S − Dte − rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:

　　 $C=\left(S-D_te^{-rT}\right)N(d_1)-Le^{-rT}N(d_2)$

　　(二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004=　6.56。值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。

　　在此红利现值为:S(1-E-δT)，所以S′=S•E-δT，以S′代S，得存在连续红利支付的期权定价公式:C=S•E-δT•N(D1)-L•E-γT•N(D2)

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B-S模型的影响

　　自B-S模型1973年首次在政治经济杂志(Journal of Political Economy)发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场进行探索也是必要的，我们才刚刚起步。

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对B-S模型的检验､批评与发展

　　B-S模型问世以来，受到普遍的关注与好评，有的学者还对其准确性开展了深入的检验。但同时，不少经济学家对模型中存在的问题亦发表了不同的看法，并从完善与发展B-S模型的角度出发，对之进行了扩展。

　　1977年美国学者伽莱(galai)利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据，首次对布-肖模型进行了检验。此后，不少学者在这一领域内作了有益的探索。其中比较有影响的代表人物有特里皮(trippi)､奇拉斯(chiras)､曼纳斯特(manuster)､麦克贝斯(macbeth)及默维勒(merville)等。综合起来，这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法：

　　1.模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳。

　　2.对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权。

　　3.对临近到期日的期权的估价存在较大误差。

　　4.离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。但总体而言，布-肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。

　　对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了布-肖模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面：

　　首先，对股价分布的假设。布-肖模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。麦顿(merton)､约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括由于重大事件而引起的跳起情形，忽略后一种情况是不全面的。他们用二项分布取代对数正态分布，构建了相应的期权定价模型。

　　其次，关于连续交易的假设。从理论上讲，投资者可以连续地调整期权与股票间的头寸状况，得到一个无风险的资产组合。但实践中这种调整必然受多方面因素的制约：1.投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金；2.股票的可分性受具体情况制约；3.频繁的调整必然会增加交易成本。因此，现实中常出现非连续交易的情况，此时，投资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而布-肖模型并未考虑到这一点。

　　再次，假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。布莱克本人后来的研究表明，随着股票价格的上升，其方差一般会下降，而并非独立于股价水平。有的学者(包括布莱克本人)曾想扩展布-肖模型以解决变动的离散度的问题，但至今未取得满意的进展。

　　此外，不考虑交易成本及保证金等的存在，也与现实不符。而假设期权的基础股票不派发股息更限制了模型的广泛运用。不少学者认为，股息派发的时间与数额均会对期权价格产生实质性的影响，不能不加以考察。他们中有的人对模型进行适当调整，使之能反映股息的影响。具体来说，如果是欧洲买方期权，调整的方法是将股票价格减去股息(d)的现值替代原先的股价，而其他输入变量不变，代入布-肖模型即可。若是美国买方期权，情况稍微复杂。第一步先按上面的办法调整后得到不提早执行情况下的价格。第二步需估计在除息日前立即执行情况下期权的价格，将调整后的股价替代实际股价，距除息日的时间替代有效期限､股息调整后的执行价格(x-d)替代实际执行价格，连同无风险利率与股价离散度等变量代入模型即可。第三步选取上述两种情况下期权的较大值作为期权的均衡价格。需指出的是，当支付股息的情况比较复杂时，这种调整难度很大。