bzoj5210最大连通子块和

• 题解：

  • 考虑朴素的dp:$$f_{u} = max(\sum_{v} f_{v} + w_{u} , 0)  \ \ \ \ h_{u} = max( max_{v} \{ h_{v} \}  , h_{u} )$$
  • 考虑利用树剖修改：记$son_{u}$为$u$的重儿子，$g_{u}$为$u$所有轻儿子之和加$w_{u}$；
    
  • 方程变成：
  • $g_{u} = w_{u} +  \sum_{v!=son_{u}} f_{v}  $
  • $f_{u}  = max(f_{son_{u}}+ g_{u} , 0) $
  • $h_{u} = max( max_{v} \{h_{v} \}  , h_{u} )$
  • 一个一个讨论：
  • 首先$g$直接修改：当修改一个点时，$w_{u}$改变$g_{u}$改变，向上跳到轻链继续修改，这只有$log$次；
  • 注意到$h$在一条重链上被写成了$g$的最大子段和，同时一个点的$f$就是$g$的最大左段和，这可以用线段树维护；
  • 还需要维护用来统计答案的$h$，对每个点用一个堆记录轻儿子的$h$值，再把堆顶元素一起存到线段树里即可；
  • 查询只需要查询一个点到链底的区间；

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define ls (k<<1)
#define rs (k<<1|1)
using namespace std;
const int N=200010;
int n,m,w[N],sz[N],st[N],ed[N],fa[N],tp[N],sn[N],hd[N],o,idx,id[N];
ll f[N],g[N],h[N],s[N<<2],sl[N<<2],sr[N<<2],ss[N<<2],mx[N<<2];
struct Edge{int v,nt;}E[N<<1];
struct data{
    priority_queue<ll>A,B;
    void push(ll x){A.push(x);}
    void pop(ll x){B.push(x);}
    ll top(){
        while(!B.empty()&&A.top()==B.top())A.pop(),B.pop();
        return A.empty()?0:A.top();
    }
}q[N];
char gc(){
    static char*p1,*p2,s[1000000];
    if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
    return(p1==p2)?EOF:*p1++;
}
int rd(){
    int x=0,f=1;char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=gc();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=gc();}
    return x*f;
}
int gt(){
    char c=gc();while(!isalpha(c))c=gc();
    return c=='M'; 
}
void adde(int u,int v){
    E[o]=(Edge){v,hd[u]};hd[u]=o++;
    E[o]=(Edge){u,hd[v]};hd[v]=o++;
}
void dfs1(int u,int F){
    sz[u]=1;sn[u]=0;
    f[u]=w[u];
    for(int i=hd[u];~i;i=E[i].nt){
        int v=E[i].v;
        if(v==F)continue;
        dfs1(v,u);
        fa[v]=u;
        sz[u]+=sz[v];
        f[u]+=f[v];
        if(sz[v]>sz[sn[u]])sn[u]=v;
        if(h[u]<h[v])h[u]=h[v];
    }
    if(f[u]<0)f[u]=0;
    if(h[u]<f[u])h[u]=f[u];
}
void dfs2(int u,int T){
    tp[u]=T;
    id[st[u]=++idx]=u;
    if(sn[u])dfs2(sn[u],T),ed[u]=ed[sn[u]];
    else ed[u]=idx;
    g[u]=w[u];
    for(int i=hd[u];~i;i=E[i].nt){
        int v=E[i].v;
        if(v==fa[u]||v==sn[u])continue;
        dfs2(v,v);
        g[u]+=f[v]; 
        q[u].push(h[v]);
    }
}
void init(int k,int l){
    ss[k]=g[id[l]];
    mx[k]=q[id[l]].top();
    s[k]=sl[k]=sr[k]=max(g[id[l]],0ll);
}
void pushup(int k){
    mx[k]=max(mx[ls],mx[rs]);
    s[k]=max(max(s[ls],s[rs]),sr[ls]+sl[rs]);
    sl[k]=max(sl[ls],ss[ls]+sl[rs]);
    sr[k]=max(sr[ls]+ss[rs],sr[rs]);
    ss[k]=ss[ls]+ss[rs];
}
void build(int k,int l,int r){
    if(l==r){init(k,l);return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    build(ls,l,mid);
    build(rs,mid+1,r);
    pushup(k);
}
void update(int k,int l,int r,int x){
    if(l==r){init(k,l);return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid)update(ls,l,mid,x);
    else update(rs,mid+1,r,x);
    pushup(k);
}
ll S,Sl,Sr,Mx,Ss;
void query(int k,int l,int r,int x,int y){
    if(l==x&&r==y){
        Mx=max(Mx,mx[k]);
        S=max(max(S,s[k]),Sr+sl[k]);
        Sl=max(Sl,Ss+sl[k]);
        Sr=max(Sr+ss[k],sr[k]);
        Ss=Ss+ss[k];
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(y<=mid)query(ls,l,mid,x,y);
    else if(x>mid)query(rs,mid+1,r,x,y);
    else query(ls,l,mid,x,mid),query(rs,mid+1,r,mid+1,y);
}
void Update(int x,int y){
    int tx=tp[x];
    g[x]-=w[x];g[x]+=(w[x]=y);
    while(tx!=1){
        update(1,1,n,st[x]);
        S=Sl=Sr=Ss=Mx=0;
        query(1,1,n,st[tx],ed[tx]);
        if(Sl!=f[tx]){
            g[fa[tx]]-=f[tx];
            g[fa[tx]]+=(f[tx]=Sl);
        }
        Mx=max(Mx,S);
        if(h[tx]!=Mx){
            q[fa[tx]].pop(h[tx]);
            q[fa[tx]].push(h[tx]=Mx);
        }
        x=fa[tx],tx=tp[x];
    }
    update(1,1,n,st[x]);
}
void Query(int x){
    S=Sl=Sr=Ss=Mx=0;
    query(1,1,n,st[x],ed[x]);
    Mx=max(Mx,S);
    printf("%lld\n",Mx);
}
int main(){
//    freopen("bzoj5210.in","r",stdin);
//    freopen("bzoj5210.out","w",stdout);
    n=rd();m=rd();
    for(int i=1;i<=n;++i)hd[i]=-1,w[i]=rd();
    for(int i=1;i<n;++i)adde(rd(),rd());
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,1);
    build(1,1,n);
    for(int i=1,x,y;i<=m;++i){
        if(gt())x=rd(),y=rd(),Update(x,y);
        else x=rd(),Query(x);
    }
    return 0;
}

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