高等数学 —— 映射与函数 —— 集合

1.函数关系与极限方法

函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法

2.集合与元素

一般的，所谓集合（简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称元）。通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合的元素。

3.有限集与无限集

一个集合，若它只含有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

4.列举法与描述法

表示集合的方法通常有以下两种：

列举法：就是把集合的全体元素一一列举出来。例如，由元素 $a_1,a_2,a_3,···,a_n$ 组成的集合A可表示成
$A=\{a_1,a_2,a_3,···,a_n\};$
描述法：若集合M是由具体某种特性P的元素x的全体所组成的，就可表示成
$M=\{x|x具有性质P\}.$
$例：B=\{x|x^2-1=0\}$

5.集合约定俗成的表示方法

对于数集，有时我们在表示数集的字母的右上角标上 “ * ” 来表示该数集内排除0的集，标上 “ + ” 来表示该数集内排除0与负数的集

符号	解释
N	全体非负整数即自然数的集合
$N^+$	全体正整数的集合
Z	全体整数的集合
Q	全体有理数的集合
R	全体实数的集合
$R^*$	排除数0的实数集合
$R^+$	全体正实数的集合

6.集合间的关系

关系	解释	表示方式
子集	集合A的元素都是集合B的元素	A $\subset$ B
相等	集合A和集合B互为子集	A = B
真子集	A = B 且 A $\not=$ B	A $\subsetneqq$ B
空集	不包含任何元素的的集合	$\emptyset$

规定：空集 $\emptyset$ 是任何集合A的子集，即 $\emptyset\subset A$

7.集合的运算

设有A、B两个集合

运算	解释	表示方式
并集	所有属于A或属于B的元素组成的集合	$A \cup B$
交集	所有既属于A又属于B的元素组成的集合	$A \cap B$
差集	所有属于A而不属于B的元素组成的集合	$A \setminus B$

有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中进行，所研究的其他集合A都是I的子集。此时，我们称集合I为全集或基本集，称 $I \setminus A$ 为A的余集或补集，记作 $A^{C}$ 。

8.集合运算法则

交换律
$A \cup B = B \cup A$
$A \cap B = B \cap A$
结合律
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
分配率
$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$
对偶率
$(A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C}$
$(A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C}$

9.笛卡尔积（直积）

设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意去一个元素y，组成一个有序对（x,y）,把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的笛卡尔积，又称直积，记作 $A \times B$ ，即
$A \times B = \{ (x,y) | x \in A 且 y \in B \}$
例如， $R \times R = \{ (x,y)|x \in R，y \in R \}$ 即为xOy面上全体点的集合， $R \times R$ 常记作 $R^{2}$

10.区间

区间是用的较多的一类数集

设a和b都是实数，且a<b，区间有以下分类：

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有限区间
- 开区间
$(a，b) = \{x | a < x < b \}$
- 闭区间
$[a，b] = \{x | a \le x \le b \}$
- 半开区间
$（a，b] = \{x | a < x \le b \}$
$[a，b) = \{x | a \le x < b \}$
无限区间

$[a，+\infty) = \{x | a \le x \}$
$(-\infty，b) = \{x | x < b \}$
全体实数的集合R也可记作 $（-\infty，+\infty）$ ，它也是无限区间

在不需要辨明所论区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，一般就简单地称它为“区间”，且用常数 I 表示。

11.邻域

以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作 $U(a)$ 。
设 $\delta$ 是任一正数，则开区间 $(a-\delta,a+\delta)$ 就是点a的一个领域，这个邻域称为点a的 $\delta$ 邻域，记作 $U(a,\delta)$ ,即
$U(a,\delta) = \{x| a - \delta < x < a + \delta \}$
点a称为这邻域的中心， $\delta$ 称为这邻域的半径。

有时用到的领域需要把邻域的中心去掉，点a的 $\delta$ 邻域去掉中心a后，称为点a的去心 $\delta$ 邻域，记作 $\mathring{U}(a,\delta)$ ，即
$\mathring{U}(a,\delta) = \{x|0 < | x -a | < \delta \}$

两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形区域

例如：
$[a,b] \times [c,d] = \{(x,y)|x \in [a,b],y \in [c,d] \}$

即为xOy平面上的一个矩形区域，这个区域在x轴与y轴上的投影分别为闭区间[a,b]和闭区间[c,d]