1. 前言
在策略迭代最后我们发现策略迭代的收敛过程比较慢，那我们就会想有没更好更快的迭代方法，今天我们介绍的价值迭代就是另一种寻找最优策略的解决方案。
2. 动态规划
价值迭代需要用到动态规划的思想，那我们简单的回顾下动态规划的特点。
- 最优子结构：是指一个子问题的最优解是可以得到的。对应蛇棋的问题，可以理解为是“从某个位置出发行走一步能够获得的最大奖励”的问题，由于只走一步，这个问题很容易计算。
重复子结构：是指一个更大的问题是由一些小问题组成的，而求解不同的大问题时可能会用上同一个子问题，子问题被重复利用，计算量也就减少了。对应蛇棋的问题，可以理解为是“从某个位置出发行走两步能够获得的最大奖励”的大问题，利用前面已经得到的子问题，这个大问题可以用伪代码表示：
“某个位置走两步的最大奖励”=max（[这一步的奖励+从这个位置出发走一步获得的最大奖励 for 走法 in 可能的走法]）
3. 价值迭代原理
理解价值迭代原理的思路，可以从策略迭代的缺点出发。
- 策略迭代的策略评估需要值函数完全收敛才进行策略提升的步骤，能不能对策略评估的要求放低，这样如果可以实现的话，速度会有所提升。
- 我们在策略迭代中关注的是最优的策略，如果说我们找到一种方法，让最优值函数和最优策略同时收敛，那样我们就可以只关注值函数的收敛过程，只要值函数达到最优，那策略也达到最优，值函数没有最优，策略也还没有最优。这样能简化了迭代步骤。
价值函数就是通过以上2点优化思路开发出来的，具体证明读者可以自己搜索。
3.1 价值迭代公式
我们继续先回顾策略迭代的公式
- 策略评估
\[ v^T_{\pi}(s_t)=\sum_{a_t}\pi^{T-1}(a_t|s_t)\sum_{s_{t+1}}p(s_{t+1}|s_t,a_t)[r_{a_t}^{s_{t+1}} + v^{T-1}_{\pi}(s_{t+1})]\;\;\;\;\;\;(1) \] - 策略提升
\[ q^T_{\pi}(s_t,a_t)=\sum_{s_{t+1}}p(s_{t+1}|s_t,a_t)[r_{a_t}^{s_{t+1}} + v^T_{\pi}(s_{t+1})]\;\;\;\;\;\;(2) \]
\[ \pi^{T+1}(s) = argmax_aq^T_{\pi}(s,a)\;\;\;\;\;\;(3) \]
通过(2)(3)我们得到
\[ \pi^{T+1}(s) =argmax_{a} \sum_{s_{t+1}}p(s_{t+1}|s_t,a_t)[r_{a_t}^{s_{t+1}} + v^T_{\pi}(s_{t+1})]\;\;\;\;\;\;(4) \]
有因为值函数和策略时同步提升的，这时候(4)就可以替换为
\[ v^{T+1}(s) =max_{a} \sum_{s_{t+1}}p(s_{t+1}|s_t,a_t)[r_{a_t}^{s_{t+1}} + v^T_{\pi}(s_{t+1})]\;\;\;\;\;\;(5) \]
公式(5)就是我们价值迭代的推导公式。
价值迭代的大概过程：
4. 广义策略迭代
- 策略迭代法的中心是策略函数，它通过反复执行“策略评估+策略提升”两个步骤使策略变得越来越好；
- 价值迭代法的中心是值函数，它通过利用动态规划的方法迭代更新值函数，并最终求出策略函数。由此可以看出两者有如下特点。
- 两个方法最终都求出策略函数和值函数。
- 最优的策略函数都是由收敛的值函数得到的。
- 值函数通过Bellman公式收敛。
由此发现一个关键：两者都需要训练和更新策略函数和值函数，只是侧重点不同。策略迭代的核心是策略，为了提升策略，值函数可以求解得准确，也可以求解得不那么准确；价值迭代的核心是价值，算法的核心部分根本没有出现与策略有关的内容，直到算法最后通过值函数求出策略。
两种方法都十分看重自己关心的那部分，可以选择忽略另一部分，因此可以看出两个方法都比较极端。既然找到了两个极端的方法，可不可以找到两种方法的中间地带呢？当然可以，这就是本小节要介绍的广义策略迭代法。
广义策略迭代法：就是定义一个迭代算法族，其中的算法都是由策略迭代和价值迭代算法组合而成的。组合的方法有很多，可以形成的方法也有很多，而前面提到的两种算法是广义策略迭代法的一种特例。由于其中的算法很多，这些算法中很有可能存在一些比前面两种算法速度更快的方法。