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前言
很多文章在谈及曲线平滑的时候，习惯使用拟合的概念，我认为这是不恰当的。平滑后的曲线，一定经过原始的数据点，而拟合曲线，则不一定要经过原始数据点。
一般而言，需要平滑的数据分为两种：时间序列的单值数据、时间序列的二维数据。对于前者，并非一定要用贝塞尔算法，仅用样条插值就可以轻松实现平滑；而对于后者，不管是 numpy 还是 scipy 提供的那些插值算法，就都不适用了。
本文基于三阶贝塞尔曲线，实现了时间序列的单值数据和时间序列的二维数据的平滑算法，可满足大多数的平滑需求。
贝塞尔曲线
关于贝塞尔曲线的数学原理，这里就不讨论了，直接贴出结论：
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一阶贝塞尔曲线
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二阶贝塞尔曲线
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三阶贝塞尔曲线
算法描述
如果我们把三阶贝塞尔曲线的 P0 和 P3 视为原始数据，只要找到 P1 和 P2 两个点（我们称其为控制点），就可以根据三阶贝塞尔曲线公式，计算出 P0 和 P3 之间平滑曲线上的任意点。
现在，平滑问题变成了如何计算两个原始数据点之间的控制点的问题。步骤如下：
第1步：绿色直线连接相邻的原始数据点，计算出个线段的中点，红色直线连接相邻的中点
第2步：根据相邻两条绿色直线长度之比，分割其中点之间红色连线，标记分割点
第3步：平移红色连线，使其分割点与相对的原始数据点重合
第4步：调整平移后红色连线的端点与原始数据点的距离，通常缩减40%-80%
算法实现
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
def bezier_curve(p0, p1, p2, p3, inserted):
"""
三阶贝塞尔曲线
p0, p1, p2, p3 - 点坐标，tuple、list或numpy.ndarray类型
inserted - p0和p3之间插值的数量
"""
assert isinstance(p0, (tuple, list, np.ndarray)), u'点坐标不是期望的元组、列表或numpy数组类型'
assert isinstance(p0, (tuple, list, np.ndarray)), u'点坐标不是期望的元组、列表或numpy数组类型'
assert isinstance(p0, (tuple, list, np.ndarray)), u'点坐标不是期望的元组、列表或numpy数组类型'
assert isinstance(p0, (tuple, list, np.ndarray)), u'点坐标不是期望的元组、列表或numpy数组类型'
if isinstance(p0, (tuple, list)):
p0 = np.array(p0)
if isinstance(p1, (tuple, list)):
p1 = np.array(p1)
if isinstance(p2, (tuple, list)):
p2 = np.array(p2)
if isinstance(p3, (tuple, list)):
p3 = np.array(p3)
points = list()
for t in np.linspace(0, 1, inserted+2):
points.append(p0*np.power((1-t),3) + 3*p1*t*np.power((1-t),2) + 3*p2*(1-t)*np.power(t,2) + p3*np.power(t,3))
return np.vstack(points)
def smoothing_base_bezier(date_x, date_y, k=0.5, inserted=10, closed=False):
"""
基于三阶贝塞尔曲线的数据平滑算法
date_x - x维度数据集，list或numpy.ndarray类型
date_y - y维度数据集，list或numpy.ndarray类型
k - 调整平滑曲线形状的因子，取值一般在0.2~0.6之间。默认值为0.5
inserted - 两个原始数据点之间插值的数量。默认值为10
closed - 曲线是否封闭，如是，则首尾相连。默认曲线不封闭
"""
assert isinstance(date_x, (list, np.ndarray)), u'x数据集不是期望的列表或numpy数组类型'
assert isinstance(date_y, (list, np.ndarray)), u'y数据集不是期望的列表或numpy数组类型'
if isinstance(date_x, list) and isinstance(date_y, list):
assert len(date_x)==len(date_y), u'x数据集和y数据集长度不匹配'
date_x = np.array(date_x)
date_y = np.array(date_y)
elif isinstance(date_x, np.ndarray) and isinstance(date_y, np.ndarray):
assert date_x.shape==date_y.shape, u'x数据集和y数据集长度不匹配'
else:
raise Exception(u'x数据集或y数据集类型错误')
# 第1步：生成原始数据折线中点集
mid_points = list()
for i in range(1, date_x.shape[0]):
mid_points.append({
'start': (date_x[i-1], date_y[i-1]),
'end': (date_x[i], date_y[i]),
'mid': ((date_x[i]+date_x[i-1])/2.0, (date_y[i]+date_y[i-1])/2.0)
})
if closed:
mid_points.append({
'start': (date_x[-1], date_y[-1]),
'end': (date_x[0], date_y[0]),
'mid': ((date_x[0]+date_x[-1])/2.0, (date_y[0]+date_y[-1])/2.0)
})
# 第2步：找出中点连线及其分割点
split_points = list()
for i in range(len(mid_points)):
if i < (len(mid_points)-1):
j = i+1
elif closed:
j = 0
else:
continue
x00, y00 = mid_points[i]['start']
x01, y01 = mid_points[i]['end']
x10, y10 = mid_points[j]['start']
x11, y11 = mid_points[j]['end']
d0 = np.sqrt(np.power((x00-x01), 2) + np.power((y00-y01), 2))
d1 = np.sqrt(np.power((x10-x11), 2) + np.power((y10-y11), 2))
k_split = 1.0*d0/(d0+d1)
mx0, my0 = mid_points[i]['mid']
mx1, my1 = mid_points[j]['mid']
split_points.append({
'start': (mx0, my0),
'end': (mx1, my1),
'split': (mx0+(mx1-mx0)*k_split, my0+(my1-my0)*k_split)
})
# 第3步：平移中点连线，调整端点，生成控制点
crt_points = list()
for i in range(len(split_points)):
vx, vy = mid_points[i]['end'] # 当前顶点的坐标
dx = vx - split_points[i]['split'][0] # 平移线段x偏移量
dy = vy - split_points[i]['split'][1] # 平移线段y偏移量
sx, sy = split_points[i]['start'][0]+dx, split_points[i]['start'][1]+dy # 平移后线段起点坐标
ex, ey = split_points[i]['end'][0]+dx, split_points[i]['end'][1]+dy # 平移后线段终点坐标
cp0 = sx+(vx-sx)*k, sy+(vy-sy)*k # 控制点坐标
cp1 = ex+(vx-ex)*k, ey+(vy-ey)*k # 控制点坐标
if crt_points:
crt_points[-1].insert(2, cp0)
else:
crt_points.append([mid_points[0]['start'], cp0, mid_points[0]['end']])
if closed:
if i < (len(mid_points)-1):
crt_points.append([mid_points[i+1]['start'], cp1, mid_points[i+1]['end']])
else:
crt_points[0].insert(1, cp1)
else:
if i < (len(mid_points)-2):
crt_points.append([mid_points[i+1]['start'], cp1, mid_points[i+1]['end']])
else:
crt_points.append([mid_points[i+1]['start'], cp1, mid_points[i+1]['end'], mid_points[i+1]['end']])
crt_points[0].insert(1, mid_points[0]['start'])
# 第4步：应用贝塞尔曲线方程插值
out = list()
for item in crt_points:
group = bezier_curve(item[0], item[1], item[2], item[3], inserted)
out.append(group[:-1])
out.append(group[-1:])
out = np.vstack(out)
return out.T[0], out.T[1]
if __name__ == '__main__':
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.array([2,4,4,3,2])
y = np.array([2,2,4,3,4])
plt.plot(x, y, 'ro')
x_curve, y_curve = smoothing_base_bezier(x, y, k=0.3, closed=True)
plt.plot(x_curve, y_curve, label='$k=0.3$')
x_curve, y_curve = smoothing_base_bezier(x, y, k=0.4, closed=True)
plt.plot(x_curve, y_curve, label='$k=0.4$')
x_curve, y_curve = smoothing_base_bezier(x, y, k=0.5, closed=True)
plt.plot(x_curve, y_curve, label='$k=0.5$')
x_curve, y_curve = smoothing_base_bezier(x, y, k=0.6, closed=True)
plt.plot(x_curve, y_curve, label='$k=0.6$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()
下图为平滑效果。左侧是封闭曲线，两个原始数据点之间插值数量为默认值10；右侧为同样数据不封闭的效果，k值默认0.5.
参考资料
算法参考了 Interpolation with Bezier Curves 这个网页，里面没有关于作者的任何信息，在此只能笼统地向国际友人表示感谢！