排序算法5——图解堆排序及其实现

排序算法1——图解冒泡排序及其实现（三种方法，基于模板及函数指针）
排序算法2——图解简单选择排序及其实现
排序算法3——图解直接插入排序以及折半（二分）插入排序及其实现
排序算法4——图解希尔排序及其实现
排序算法5——图解堆排序及其实现
排序算法6——图解归并排序及其递归与非递归实现
排序算法7——图解快速排序以及不同CUTOFF的时间测试

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堆的概念和性质

堆，是一种特殊的二叉树，每个子结点的值总是小于（或者大于）它的父结点，相应的分为最大堆和最小堆

堆，是一个完全二叉树，一般情况下堆排序都是用数组的方式实现

这里可以看到，若以0开始编号
大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

下面的性质是最重要的：
若以0开始编号，对编号为 i 的结点，其左孩子为2i+1，右孩子为2i+2，二者相差为1
第一个非叶子结点编号为(int)(length/2)-1
最后一个结点的编号为length-1

堆排序的基本思想

利用最大堆（对应升序）或者最小堆（对应降序）输出堆顶元素，即最大值（或最小值），
然后将剩下元素重新生成最大堆（或者最小堆），继续输出堆顶元素，重复此过程直到全部元素都已输出即可得到有序序列

空间复杂度为O（N）的方法

额外开辟一个辅助的数组空间，将堆顶元素逐一放入辅助数组里，最后再把辅助数组的内容赋值回原始的数组

空间复杂度为O（1）的方法

这个方法的时间复杂度与前一种相同，都是O（NlogN），但是不需要额外的辅助数组，所以空间复杂度为O（1）
但堆排序是不稳定排序

主要的步骤是：
1.先将一个无序的序列生成一个最大堆
2.将堆顶元素与堆的最后一个元素对换位置
3.将剩余的元素重新生成一个最大堆
4.重复2-3步骤，直到堆中只剩一个元素

首先介绍给出一个待排序的无序序列，并以完全二叉树的形式将其绘制出来

可以看到，该无序序列并不是一个最大堆

于是，做上述步骤的第一步，我们将其变为一个最大堆
那么，怎么变呢？我们需要从第一个非叶子节点开始，也就是编号为length/2-1的那个结点
针对上面的例子，length/2-1也就是5/2-1=1了
下面，一图带你读懂最大堆的构建

下面，我们执行上述的步骤2和步骤3
2.将堆顶元素与堆的最后一个元素对换位置
3.将剩余的元素重新生成一个最大堆

从上面可以看到，堆排序的整体主要由两部分组成
1.构建初始堆，时间复杂度为O（N）
2.交换堆顶和末尾元素并对剩余元素重建最大堆，重建堆的时间复杂度为O（NlogN）

所以总体来说，堆排序的时间复杂度为O（NlogN）
它对原始记录的排序状态并不敏感，最好最坏和平均时间复杂度都是O（NlogN）
在空间上，只有一个用来交换的暂存单元，空间复杂度也很好
由于记录的比较与交换是跳跃式进行，因此也是不稳定的。

由于初始构建所需的比较次数较多，因此不适合待排序序列较少的情况

测试结果及代码

#include <iostream>

template<class T>
void adjustHeap(T A[], int current, int length) {
	int parent = current;
	T tmp = A[current];
	for (int child = 2 * parent + 1; child < length;) {
		if (child != length - 1 && A[child] < A[child + 1]) {
			++child;
		}
		if (tmp < A[child]) {
			A[parent] = A[child];
			parent = child;
			child = 2 * child + 1;
		}
		else
			break;
	}
	A[parent] = tmp;
}

template<class T>
void HeapSort(T A[], int length) {
	/// 根据输入数组建立最大堆
	for (int i = length / 2 - 1; i >= 0; --i) {
		adjustHeap(A, i, length);
	}

	T tmp;
	for (int i = length - 1; i > 0; --i) {
		tmp = A[0];
		A[0] = A[i];
		A[i] = tmp;
		/// 交换以后再以0位置的结点重建最大堆,同时元素个数-1
		adjustHeap(A, 0, i);
	}

}

template<class T>
void ArrShow(T *A, int length) {
	for (int i = 0; i < length; ++i) {
		std::cout << A[i] << " ";
	}
	puts("\n");
}

int main(int argc, char *argv[]) {
	int test[9] = { 1, 2, 7, 3, 4, 6, 8, 5, 9 };
	ArrShow(test, 9);

	puts("HeapSort : ");
	HeapSort(test, 9);
	ArrShow(test, 9);


	return 0;
}