【算法基础】动态规划的理解

本章是个很有趣的问题，也是难倒很多人的问题，同时这又是个会而不难的问题。

动态规划的核心逻辑是：将问题分解为子问题。在《算法图解》这本书里，深入浅出得讲了递推公式的推演逻辑，但是在关键部分，递推公式部分，并没给出逻辑。

整个过程好像是，前面一段道路很平缓，走起来很舒适，但是突然一个大台阶挡住了去路，本篇将试图为这个台阶做一下铺垫，让这个过程更加容易理解一些。

主体仍然以书上的例子作为演示素材。

问题定义

背包问题场景之一，可以盗窃的东西如下：

在这里插入图片描述

现在你的背包容量只有4磅，目标是在容量允许的情况下，偷到最有价值的物品组合。

最直接的想法是遍历，三个物品，每个物品都有被偷和不被偷的2种选择，所以总共有 $2^3 = 8$ 种选择。

如果有 $n$ 个物品，那么问题的规模就变成了 $2^n$ 次方，显然这是不可接受的算法。

现在看看用动态规划如何解决。

动态规划

现在把问题拆解为两个方向：

增多物品选择
增大背包空间

所以这是两个维度的扩展，我们用一个二维的表格来跟踪问题的解决方案。

每个动态规划算法都从一个表格开始。

在这里插入图片描述

行为物品种类，列为背包容量大小。

那么在第一行的时候，意味着我们只能选择吉他，吉他的重量是1磅，价值是1500美元。

所以在背包容量为1时，最大价值是1500美元，容量为2,3,4时都是1500美元，因为此时只有一个选择。

所以第一行填满了：

在这里插入图片描述

现在我们扩大物品选择选项，即音响也可以纳入选择了。我们此时来填第二行。

这里我们即可以讲讲填充时的指导规则，而不是自己在脑海里遍历。。我们对选项不多的问题，天然有遍历的倾向，然后问题扩大时，又因为没有指导规则，就会手足无措。

现在有音响了，意味着我们可以选择两个物品：

吉他：重1磅，价值1500美金
音响：重4磅，价值3000美金

我们现在来填第二行第一格。我们可以这么想，我们到底有多少选择呢？

其中背包空间是1磅重，其实我们就两个选择：

不选择音响
选择音响

如果不选择音响的话，我们就可以不看第二行了，直接把条件再综合一下：

不选择音响（只有吉他可选）
背包大小为1

能够偷到的价值是不是和第一行第一列的数值1500美元一样？

是的。但这只是第一个选择。如果是第二个选择呢？我们确定要选择音响，但是一算，音响重4磅，装不下，所以最终答案就只能是1500美元。

这个逻辑理解的话，我们可以直接上递推公式了：

$cell[i][j] =max{ \begin{cases} cell[i-1][j], \\ 当前商品价值 + 剩余空间最大价值 \end{cases} }$

这两个选项就分别对应着：当前的商品选还是不选，如果不选，那么最大价值就是上面一行且同列的值，同列的原因是背包容量大小相同。
如果选的话，条件也是当前物品能放进背包，放不进去就谈不上第二种选择了。现在是能选，选上了以后，该物品的价值是到手了的。但是空间不一定用完，因此，我们再去查上一行，对应剩余空间能装的物品价值。

注：这个背包问题的背景设置是每个物品只有一个。现在的被选了，那么就回退到上一行来看剩余空间可装多少价值的问题。

上面的公式可以进一步写成：

$cell[i][j] =max{ \begin{cases} cell[i-1][j], \\ 当前商品价值 + cell[i-1][j-当前商品重量] \end{cases} }$

公式拿到，我们现在来继续填充表格:

在这里插入图片描述

有了这个表格，我们就可以知道，在三个物品可选，且背包大小为4时，最大可偷价值为3500。

即，表格一旦达成，问题解答就变成直接查表即可。

假定现在我们增加一个商品，一个手机，重量为1磅，价值为2000美金。我们知道吉他价值1500，重1磅，相比于手机，在1磅的情况下下，偷手机是性价比最好的。

所以我们来看新增一行：

在这里插入图片描述

即要填的表格是 $cell[4][1], cell[4][2], cell[4][3], cell[4][4]$ 。

$cell[4][1] = max\{ cell[3][1], 2000 + cell[3][1-1] \} = max(1500, 2000) = 2000$

这里出现一个 $cell[0]$ ，我们的下标从1开始，所以这就是越界，越界的都用0来处理，因为实际表达的含义是，没有剩余空间的意思。

再看 $cell[4][2]$ .

$cell[4][2] = max\{cell[3][2] , 2000 + cell[3][2-1]\} = max(1500, 3500) = 3500.$

同理：

$cell[4][3] = max\{cell[3][3] , 2000 + cell[3][3-1]\} = max(2000, 2000 + 1500) = 3500 \\ cell[4][4] = max\{cell[3][4] , 2000 + cell[3][4-1]\} = max(2000, 2000 + 2000) = 4000$

所以最终在背包为4磅容量，可偷四种物品时，最大可偷4000美元的东西。

如果物品是更小粒度呢？

比如增加了一件物品重量是0.5磅，那么这个表格就得按照这个最小的粒度来划分。

如果可以偷物品的一部分呢？

比如偷大米，小麦，一袋子太多，不是一袋子偷不偷的问题，而是可不可以拿走一部分。

这个问题动态规划不可解，但是隔壁的贪心算法可解：偷性价比最高的，即单价最贵的。

如果子问题之间相互依赖呢？

答案是动态规划处理不了。动态规划只处理相互离散的子问题。

END.

参考：

《算法图解》第九章