不平等博弈问题学习记录(三)

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今天写的这一篇文章离写第一篇文章的时间可能有几天了,并且在这段时间里也有人向我提出了我错误的地方,现已作更改。
今天,我们又做到了一道题目,也是不平等博弈的,听了讲题,我对不平等博弈有了更深的理解。
首先,不平等博弈,或者说是一个游戏,一直以来我觉得都可以用超实数来做,但今天我发现,其实超实数其实是一种数,这种游戏的状态不等价于超实数,就比如*符号,这个就不是超实数,所以这些东西都是超实数的扩充罢了。还有呢,在超实数的运算{X|Y}的定义中有“这两个集合中的元素也为超实数,且右集合中不存在一个元素 x 使得左集合中存在一个元素 y 满足 xy ”。但事实上在博弈上很容易出现比如说{ 1 | 0 }的情况,这个时候在博弈中仍然是合法的,但是却不能按一般的运算方法来做了,需要用一些特技来算了。
就比如一道题,有两个人,一个人每次能拿a个石子,一个人每次能拿b个石子,求多堆的时候的情况
这道题有一个规律,如果有一堆石子有x个,那么它的状态等价于x%(a+b)个,可能不会证明,但是能通过打几个表来找到规律,其中就有{l|r}(l>r)的运算
下面枚举a=2,b=3的情况
f(0)=0 //0颗石子,先手必败
f(1)=0 //1颗石子,同样两个人都不能取,先手必败
f(2)=1 //第一个人能取,f(2)= { f(0) | Φ }={ 0 | inf }=1
f(3)= //两个人都能取,一个人拿了另一个人就不能拿,所以就是先手必胜,先手必胜有3种情况: + + ,要怎么判断是三个中的哪个呢,由于 + 是一个第一个人必胜态, + 是第一个人必败态,所以只要把这个石子复制成2堆,若是第一个人必胜,那么就是 + ,若是第二个人必胜,那么就是 + ,若是先手必败,那么就是 ,两堆3个的石子,那么显然是先手必败,所以f(3)= ,其实很显然,f(3)={f(1)|f(0)}={0|0}=
f(4)= + //同f(3)的做法,两个4堆的石子,是第一个人必胜,所以f(4)= + ,同时发现,解决了f(4)={f(2)|f(1)}={1|0}的问题,{1|0}= +
f(5)=0 //这个显然先手必败,所以是0,同时f(5)={f(3)|f(2)}={ |1},它竟然等于0
f(6)=0 //f(6)={f(4)|f(3)}={ + | },这个分析一下就知道,若第一个玩家先取,那么第二个玩家赢,若第二个玩家先取,那么第一个玩家赢,所以f(6)=0
f(7)=1 //f(7)={f(5)|f(4)}={0| + },分析一下,这是一个先手必胜的状态,但是它等于几呢?一脸迷茫,猜一波结论,f(7)=1?证明呢,很简单,证明f(7)+(-1)=0就好了,也就是第二个人多一步,你可以自己分析一下步数,那就可以发现确实是先手必败
…其实已经有点循环了,后面的证明同理,不再说明
说重点,讲一讲超实数的加法吧

加法运算

对于超实数 x= { XL | XR } 和 y = { YL | YR } ,它们的加法运算被定义为:
x+y={ XL | XR }+{ YL | YR }={ XL +y,x+ YL | XR +y,x+ YR },
对于某个集合X和超实数y,X + y = { x + y : x X }
终止条件为 Φ + n = Φ

相反数运算

对于超实数 x= { XL | XR } ,x的相反数为:- x = -{ XL | XR } = { - XR | - XL },对于集合X,-X={ -x : x X }
终止条件为-0=-{ | }={ | }=0

其它定义

还有的定义是x-y=x+(-y)
根据上面三个官方的定义,还可以得到两个超实数之和还是超实数,并且加法满足交换律、结合律

证明上面的 + 是先手必胜态
证明: + = { 0 | } + { 0 | } = { 0 + , + 0| + , + } = { | + },所以是先手必胜

可能就这些了吧,这些东西差不多可以让超实数在博弈中得到扩展,之后不平等博弈问题会在需要的时候继续更新新的篇目,记录(三)到这里就结束了

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