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取石子游戏
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 5184 Accepted Submission(s): 3132
Problem Description
1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".
Input
输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31. n=0退出.
Output
先取者负输出"Second win". 先取者胜输出"First win".
参看Sample Output.
Sample Input
2 13 10000 0
Sample Output
Second win Second win First win
Source
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先介绍一下斐波拉切博弈：
有一堆个数为n(n>=2)的石子，游戏双方轮流取石子，规则如下：
1)先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取1颗；
2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间(闭区间)。
约定取走最后一颗石子的人为赢家，求必败态。
结论：
1）当n是Fibonacci数的时候，先取者必败。
比如n=89：记先手一开始所取的石子数为y，若y>=34颗（也就是89的向前两项），那么一定后手赢，因为89-34=55=34+21<2*34，所以只需要考虑先手第一次取得石子数y<34的情况即可，所以现在剩下的石子数x介于56到89之间，它一定不是一个Fibonacci数，于是我们把x分解成Fibonacci数：x=55+f[i]+…+f[j]，若，如果f[j]<=2y，那么对B就是面临x局面的先手，所以根据之前的分析，B只要先取f[j]个即可，以后再按之前的分析就可保证必胜。
2）当n不是Fibonacci数的时候，后取者必败。
假如n不是一个斐波拉切数的话，我们则需要借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。
比如n=83：我们看看这个分解有什么指导意义：假如先手取2颗，那么后手无法取5颗或更多，而5是一个Fibonacci数，如果猜测正确的话，（面临这5颗的先手实际上是整个游戏的后手）那么一定是先手取走这5颗石子中的最后一颗，而这个我们可以通过第二类归纳法来绕过，同样的道理，接下去先手取走接下来的后21颗中的最后一颗，再取走后55颗中的最后一颗，那么先手赢。
解题思路：直接利用结论解题，但预处理一下斐波拉切数组，毕竟数据比较大。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int m=55;
int f[m]= {0,1};
void Fibonacci() //打表预处理
{
for(int i=2; i<m; i++)
f[i]=f[i-1]+f[i-2];
}
int main()
{
int n;
Fibonacci();
while(~scanf("%d",&n)&&n)
{
bool flag=false;
for(int i=2; i<m; i++)
{
if(f[i]==n)
{
flag=true;
break;
}
}
if(flag)
printf("Second win\n");
else
printf("First win\n");
}
return 0;
}