图像处理基础(7)：图像的灰度变换（续篇）

            灰度变换，属于一个非常重要的概念。这里主要参考《Digital Image Processing》 Rafael C. Gonzalez / Richard E. Woods 的第三章。书中所有的实验与数学式都采用了8-bit 图像的灰度范围，也就是0到255这样一个范围，这是本书不合理的一个地方。首先，这样做并不泛用，图片不一定是8-bit的。其次，在做某些变换的时候，可能会导致溢出。比如，伽马变化，假设伽马值为2，那么灰度为255的像素点，其变换之后值为65025，这里就溢出了。当然，要是使用Matlab计算，肯定会处理的非常好，直接使用mat2gray函数就能将其压缩回0到255。但是要是其他嵌入式平台处理的时候，直接套用不方便不说，直接按照8-bit的图来理解很不直观。因此，我将数学式做了改变，让其输入为0到1的浮点数，其输出也是0到1的浮点数，这样方便理解。

      本文所使用的图片，均来源于《Digital Image Processing》的主页 http://www.imageprocessingplace.com/

       图像反转

       图像反转，这个翻译还是很不恰当的。这里应该理解为负片变换，负片变换如下所示。

负片变换，主要用于观察过黑的图片，负片变换之后，方便观察。很简单的变换。

       对数变换

       对数变换主要用于将图像的低灰度值部分扩展，将其高灰度值部分压缩，以达到强调图像低灰度部分的目的。变换方法由下式给出。

这里的对数变换，底数为，实际计算的时候，需要用换底公式。其输入为，其输出也为。对于不同的底数，其对应的变换曲线如下图所示。

底数越大，对低灰度部分的强调就越强，对高灰度部分的压缩也就越强。相反的，如果想强调高灰度部分，则用反对数函数就可以了。看下面的实验就可以很直观的理解，下图是某图像的二维傅里叶变换图像，其为了使其灰度部分较为明显，一般都会使用灰度变换处理一下。

       实现对数变换的Matlab代码如下：

    
    
close all;
clear all;

%% ————-Log Transformations—————–
f = imread( ’DFT_no_log.tif’);
f = mat2gray(f,[ 0 255]);

v = 10;
g_1 = log2( 1 + v*f)/log2(v+ 1);

v = 30;
g_2 = log2( 1 + v*f)/log2(v+ 1);

v = 200;
g_3 = log2( 1 + v*f)/log2(v+ 1);

figure();
subplot( 1, 2, 1);
imshow(f,[ 0 1]);
xlabel( ’a).Original Image’);
subplot( 1, 2, 2);
imshow(g_1,[ 0 1]);
xlabel( ’b).Log Transformations v=10’);

figure();
subplot( 1, 2, 1);
imshow(g_2,[ 0 1]);
xlabel( ’c).Log Transformations v=100’);

subplot( 1, 2, 2);
imshow(g_3,[ 0 1]);
xlabel( ’d).Log Transformations v=200’);
    
    

       伽马变换

       伽马变换主要用于图像的校正，将漂白的图片或者是过黑的图片，进行修正。伽马变换也常常用于显示屏的校正，这是一个非常常用的变换。其变化所用数学式如下所示，

其输入为，其输出也为。对于不同的伽马值，其对应的变换曲线如下图所示。

和对数变换一样，伽马变换可以强调图像的某个部分。根据下面两个实验，可以看出伽马变换的作用。

       实验1：

其实现Matlab代码为：

    
    
close all;
clear all;

%% ————-Gamma Transformations—————–
f = imread( ’fractured_spine.tif’);
f = mat2gray(f,[ 0 255]);

C = 1;
Gamma = 0.4;
g2 = C*(f.^Gamma);

figure();
subplot( 1, 2, 1);
imshow(f,[ 0 1]);
xlabel( ’a).Original Image’);

subplot( 1, 2, 2);
imshow(g2,[ 0 1]);
xlabel( ’b).Gamma Transformations \gamma = 0.4’);
    
    

       实验2：

       灰度拉伸

       灰度拉伸也用于强调图像的某个部分，与伽马变换与对数变换不同的是，灰度拉升可以改善图像的动态范围。可以将原来低对比度的图像拉伸为高对比度图像。实现灰度拉升的方法很多，其中最简单的一种就是线性拉伸。而这里介绍的方法稍微复杂一些。灰度拉伸所用数学式如下所示。

同样的，其输入为，其输出也为。这个式子再熟悉不过了，跟巴特沃斯高通滤波器像极了，其输入输出关系也大致能猜到是个什么形状的。但是，这里就出现一个问题了，输入为0时候，式子无意义了。所以，在用Matlab计算的时候，将其变为如下形式。

这里的eps，就是Matlab里面，一个很小数。如此做的话，式子变得有意义了。但是，其输入范围为的时候，其输出范围变为了。输出范围大致为，为了精确起见，使用mat2gray函数将其扩展到精确的。调用格式如下。

g = mat2gray(g,[1/(1+(m/eps)^E) 1/(1+(m/1+eps)^E)]);

       输入输出问题解决了，还有一个问题，参数的决定。这里有两个参数，一个是m（相对于巴特沃斯高通滤波器而言，这个是截止频率），一个是E（相对于 巴特沃斯高通滤波器而言，这个是滤波器次数）。m可以控制变换曲线的重心，E则可以控制曲线的斜率，如下图所示。

m值的可取图像灰度分布的中央值，如下式所示，

       决定m之后，接下来就只剩E了。灰度拉升的目的就是扩展图片的动态范围，我们想将原本灰度范围是的图像变换到内。那么，就直接取最大值与最小值，带入式子，解出E就可以了。但是，如之前所说的，我们所用的式子的的输出范围达不到，而且，直接取的范围，会造成E非常大，从而变换曲线的斜率非常大，灰度扩展的结果并不是很好。所以，这里退一步，取的输出范围是。E的取值，如下所示。

       实验：

       从直方图看，原图的灰度范围确实被拉伸了。用上面所说的方法，确定的灰度拉伸的输入输出曲线如下图所示。

      其Matlab代码如下：

    
    
close all;
clear all;

%% ————-Contrast Stretching—————–
f = imread( ’washed_out_pollen_image.tif’);
%f = imread( ’einstein_orig.tif’);
f = mat2gray(f,[0 255]);

[M,N] = size(f);
g = zeros(M,N);

Min_f = min(min(f));
Max_f = max(max(f));
m = (Min_f + Max_f)/2;

Out_put_min = 0.05;
Out_put_max = 0.95;

E_1 = log(1/Out_put_min - 1)/ log(m/(Min_f+eps));
E_2 = log(1/Out_put_max - 1)/ log(m/(Max_f+eps));
E = ceil(min(E_1,E_2)-1);

g = 1 ./(1 + (m ./ (f+ eps)).^E);
g = mat2gray(g,[1/(1+(m/eps)^E) 1/(1+(m/1+eps)^E)]);

figure();
subplot(2,2,1);
imshow(f,[0 1]);
xlabel( ’a).Original Image’);

subplot(2,2,2);
r = imhist(f)/(M*N);
bar(0:1/255:1,r);
axis([0 1 0 max(r)]);
xlabel( ’b).The Histogram of a’);
ylabel( ’Number of pixels’);

subplot(2,2,3);
imshow(g,[0 1]);
xlabel( ’c).Results of Contrast stretching’);

subplot(2,2,4);
s = imhist(g)/(M*N);
bar(0:1/255:1,s);
axis([0 1 0 max(s)]);
xlabel( ’b).The Histogram of a’);
ylabel( ’Number of pixels’);

in_put = 0:1/255:1;
Out_put1 = 1 ./(1 + (m ./ (double(in_put)+ eps)).^E);
Out_put1 = mat2gray(Out_put1,[1/(1+(m/eps)^E) 1/(1+(m/1+eps)^E)]);

figure();
plot(in_put,Out_put1);
axis([0,1,0,1]),grid;
axis square;
xlabel( ’Input intensity level’);
ylabel( ’Onput intensity level’);
    
    

       灰度切割

       灰度切割也是一个很简单，但也很实用的变换。灰度切割，主要用于强调图像的某一部份，将这个部分赋为一个较高的灰度值，其变换对应关系如下所示。

灰度切割有以上两种方法，一种是特定灰度值的部分赋值为一个较高的灰度值，其余部分为一个较低的灰度值。这样的方法，得到的结果是一个二值化图像。另外一种方法，则是仅仅强调部分赋值为一个较高的灰度值，其余的部分不变。

       实验：

       位图切割

       位图切割，就是按照图像的位，将图像分层处理。若图像的某个像素，其bit7为1，则在位面7这个像素值为1，反之则为0。

       实验：

       由位图切割的结果，图像的主要信息包含在了高4位。仅仅靠高4位，还原的图像更原图基本差不多。由此可见，位图切割主要用于图像压缩。