HDU 6229 - Wandering Robots - [概率题]

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6229

转载：

https://blog.csdn.net/Anna__1997/article/details/78494788

题目大意

N * N的区域内，有K个格子不能到达，机器人从(0, 0)出发有均等的该概率留在原地和到达上下左右可到达的区域，问无穷远的时间以后有多大概率到达 x + y >= n - 1 的区域。

思路

计算除了不能到达的格子之外的格子能通往多少方向d，则格子的权值为d + 1，

ans = x + y >= n - 1 的格子的权值之和 / 总权值和

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马尔科夫链的随机游走模型
可建立状态转移矩阵，对n * n 的图中n * n 个点编号为0 ~[ (n - 1) * n + n – 1] 设最大编号为max
P = p(i, j) =

[p(0, 0) p(0, 1) … p(0, max)
P(1, 0) p(1, 1) … p(1, max)
…
P(max, 0) p(max, 1) … p(max, max)]
π(i) 为 i 时间各点的概率
π(n + 1) = π(n) * P
当时间 ->无穷 π(n + 1)->π
可以通过 π * P = π 计算
验证猜测结果正确
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找规律的答案有待证明
现在能想到的是整个封闭系统每个格子以出现机器人的概率作为权值在很长的时间线上是一个熵增的
过程(想到元胞自动机)，如果要模拟这个概率扩散的过程的话，格子的权值的更新是一个用他所能到达的格子的权值
和他自身的权值迭代的过程，这个过程中可以发现他的相邻的格子的权值是在不断同化的，因此，在无穷远后
(0, 0)的和他周围的格子的权值不在体现优势，而更加开放的格子则更占优(可根据迭代公式理解)

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;

const int maxn=10000+10;
const int maxk=1000+10;
const int dx[4]={0,1,0,-1};
const int dy[4]={1,0,-1,0};

int n,k;
map<pii,bool> mp;
int p,q;

inline int gcd(int m,int n){return n?gcd(n,m%n):m;}
inline int check(const int &x,const int &y)
{
    if(x<0||x>=n||y<0||y>=n) return 0;

    if((x==0||x==n-1) && (y==0||y==n-1))  return 3;
    else if((x==0||x==n-1) && (y!=0&&y!=n-1))  return 4;
    else if((y==0||y==n-1) && (x!=0&&x!=n-1))  return 4;
    else return 5;
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    for(int kase=1;kase<=T;kase++)
    {
        mp.clear();

        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=1,x,y;i<=k;i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            mp[make_pair(x,y)]=1;
        }

        p=3*3+2*(n-2)*4+(n-2)*(n-1)/2*5;
        q=4*3+4*(n-2)*4+(n-2)*(n-2)*5;
        for(map<pii,bool>::iterator it=mp.begin();it!=mp.end();it++)
        {
            int x=((*it).first).first;
            int y=((*it).first).second;
            if(x+y>=n-1) p-=check(x,y);
            q-=check(x,y);

            for(int i=0;i<4;i++)
            {
                int nxtx=x+dx[i];
                int nxty=y+dy[i];
                if(check(nxtx,nxty)>0 && mp.count(make_pair(nxtx,nxty))==0)
                {
                    if(nxtx+nxty>=n-1) p--;
                    q--;
                }
            }
        }

        int g=gcd(p,q);
        printf("Case #%d: %d/%d\n",kase,p/g,q/g);
    }
}

HDU 6229 - Wandering Robots - [概率题]

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